Anitha@Satyanarayana Reddy | Basics In Maths

TS Inter Betterment/ Supplementary Question Papers 2023, TS 1st Year Model Papers 2024

By [email protected] Reddy / May 31, 2023 / Education

TS Inter Betterment/ Supplementary Question Papers 2023, TS 1st Year Model Papers 2024

TS Inter Betterment

TS BIE

stands for Telangana State Board of Intermediate Education. It is an education board in the state of Telangana, India, responsible for regulating and supervising the intermediate education system. The intermediate education in Telangana comprises two years of study after the completion of secondary education (10th grade).

The Telangana State Board of Intermediate Education conducts the Intermediate Public Examinations (IPE) for students in the state. These examinations are held at the end of the first year (11th grade) and second year (12th grade) of intermediate education. The IPE is an important milestone for students as their performance in these exams determines their eligibility for higher education and future career prospects.

The TS BIE is responsible for designing the syllabus, prescribing textbooks, conducting examinations, and declaring results for intermediate students. The board also grants affiliations to junior colleges and regulates their functioning. It aims to provide quality education and ensure the overall development of students in the state.

The official website of the Telangana State Board of Intermediate Education provides detailed information about the board, its functions, examination schedules, results, and other relevant information for students, parents, and educational institutions.

TS Inter betterment

Maths 1B Model Paper – 1	Click Here
Maths 1B Model Paper – 2	Click Here

The Telangana State Board of Intermediate Education (TS BIE) was established in 2014 after the formation of the separate state of Telangana from the state of Andhra Pradesh. It is a regulatory body that oversees intermediate education in the state.

Here are some key points about TS BIE:

Functions: TS BIE is responsible for various parts related to intermediate education, including designing the curriculum, prescribing textbooks, conducting examinations, and issuing certificates.

Syllabus:

The board designs the syllabus for various streams of intermediate education, such as MPC (Mathematics, Physics, Chemistry), BiPC (Biology, Physics, Chemistry), CEC (Commerce, Economics, Civics), and MEC (Mathematics, Economics, Commerce).

Examinations: TS BIE conducts the Intermediate Public Examinations (IPE) annually in the state. These exams are held at the end of the first and second years of intermediate education. The IPE includes theory examinations as well as practical examinations for certain subjects.

Affiliations: TS BIE grants affiliations to junior colleges in the state. The affiliated colleges are required to follow the prescribed curriculum and guidelines set by the board.

Results:

After the completion of examinations, TS BIE declares the results for intermediate students. The results are typically announced in the form of grades or marks, which are crucial for students’ admission to higher education institutions.

Maths 1B Model Paper 3	Click Here
Maths 1B Model Paper 4	Click Here
Maths 1B Model Paper 5	Click Here

Revaluation and Recounting: The board provides provisions for students to apply for revaluation or recounting of their answer scripts if they are dissatisfied with their results. This allows students to have their answer scripts re-evaluated or rechecked for any discrepancies.

Scholarships: TS BIE also facilitates the disbursement of various scholarships and financial assistance schemes for eligible intermediate students. These scholarships are aimed at supporting students’ academic pursuits and encouraging their educational development.

It’s important to note that the information provided here is based on the knowledge cutoff of September 2021. For the most up-to-date and accurate information, it is recommended to visit the official website of the Telangana State Board of Intermediate Education or contact the board directly.

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

TS Inter Supplementary/betterment Question Papers 2023, TS 1st Year Model Papers 2024

By [email protected] Reddy / May 30, 2023 / Education

TS Inter Supplementary/betterment Question Papers 2023, TS 1st Year Model Papers 2024

TS BIE

stands for Telangana State Board of Intermediate Education. It is an education board in Telangana, India, responsible for regulating and supervising the intermediate education system. The intermediate education in Telangana comprises two years of study after completing secondary education (10th grade).

TS Inter Supplementary

Maths 1A Model Paper – 1	Click Here
Maths 1A Model Paper – 2	Click Here

Here are some key points about TS BIE:

Functions:

TS BIE is responsible for various parts related to intermediate education, including designing the curriculum, prescribing textbooks, conducting examinations, and issuing certificates.

Syllabus:

Examinations:

TS BIE conducts the Intermediate Public Examinations (IPE) annually in the state. These exams are held at the end of the first and second years of intermediate education. The IPE includes theory examinations as well as practical examinations for certain subjects.

Affiliations: TS BIE grants affiliations to junior colleges in the state. The affiliated colleges are required to follow the prescribed curriculum and guidelines set by the board.

Maths 1A Model Paper – 3	Click Here
Maths 1A Model Paper – 4	Click Here
Maths 1A Model Paper – 5	Click Here

TS Inter Supplementary

Results:

TS Inter Maths 1A & 1B Solutions

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

Rolles and Langranges Theorem vsaq’s

By [email protected] Reddy / February 14, 2023 / Education

Rolles and Langranges Theorem

Rolles and Langranges Theorem vsaq’s

Rolle’s theorem

If f: [a, b] ⟶ R be a function satisfying the following conditions

f is continuous on [a, b]
f is differentiable (a, b)
f(a) = f(b)

then there exists at least one cϵ (a, b) such that f’(c) = 0

Langrage’s theorem

If f: [a, b] ⟶ R be a function satisfying the following conditions

f is continuous on [a, b]
f is differentiable (a, b)

then there exists at least one cϵ (a, b) such that f’(c) =

Rolles and Langranges Theorem vsaq’s

1. State Rolle’s theorem

Sol:

If f: [a, b] ⟶ R be a function satisfying the following conditions

f is continuous on [a, b]
f is differentiable (a, b)
f(a) = f(b)

then there exists at least one cϵ (a, b) such that f’(c) = 0

2. State Langrage’s theorem

Sol: If f: [a, b] ⟶ R be a function satisfying the following conditions

f is continuous on [a, b]
f is differentiable (a, b)

then there exists at least one cϵ (a, b) such that f’(c) =

3. If f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3), prove that there is more than ‘c’

in (1, 3) such that f’ (c) = 0

Sol: Given function is f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3)

(i)f(x) is continuous on [1, 3]

(ii) f(x) is differentiable on (1, 3)

(iii) f(1) = (1 – 1) (1 – 2) (1 – 3)

= 0 (– 1)( – 2)

= 0

f(3) = (3 – 1) (3 – 2) (3 – 3)

= (2) (1) (0)

= 0

f(1) = f(3)

f’(x) = (1 – 0) (x – 2) (x – 3) + (x – 1) (1 – 0) (x – 3) + (x – 1) (x – 2) (1 – 0)

= (x – 2) (x – 3) + (x – 1) (x – 3) + (x – 1) (x – 2)

= x² – 3x – 2x + 6 + x² – 3x – x + 3 + x² – 2x – x + 2

= 3x² – 12x + 11

f’ (c) = 3c² – 12c + 11

by Rolle’s Theorem f’ (c ) = 0

3c² – 12c + 11 = 0

4. Find all the value s of ‘c’ in Rolle’s theorem for the function

y = f(x) = x² + 4 on [– 3, 3]

Sol: Given function is f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3)

f(x) is continuous on [– 3, 3]

f(x) is differentiable on (– 3, 3)

f (– 3) = (– 3)² + 4 = 9 + 4 = 13

f (3) = (3)² + 4 = 9 + 4 = 13

f (– 3) = f(3)

By Rolle’s theorem there exist c ∈ (– 3, 3) such that f’ (c) = 0

f’ (x) = 2x

f’ (c) = 2c

⟹ 2c = 0

C = 0 ∈ (– 3, 3)

5. Find the value of ‘c’ from Rolle’s theorem for the function f(x) = x² – 1 on [– 1, 1]

Sol: Given function is f(x) = x² – 1

f(x) is continuous on [– 1, 1]

f(x) is differentiable on (– 1, 1)

f (– 1) = (– 1)² – 1 = 1 – 1 = 0

f (– 1) = f(1)

By Rolle’s theorem there exist c ∈ (– 1, 1) such that f’ (c) = 0

f’ (x) = 2x

f’ (c) = 2c

⟹ 2c = 0

c = 0 ∈ (– 1, 1)

6. It is given that Rolle’s theorem holds for the function f(x) = x³ + bx² + ax on [1, 3] with c = 2 + . Find the values of a and b.

Sol: Given function is f(x) = x³ + bx² + ax on [1, 3] satisfying Rolle’s theorem

⟹ f(x) is continuous on [ 1, 3]

f(x) is differentiable on (1, 3)

f (1) = f (3)

and there exists at least one c = 2 + ϵ (1, 3) such that f’ (c) = 0

now f(1) = f(3)

1 + b + a = 27 + 9b + 3a

2a + 8b + 26 = 0

a + 4b + 13 = 0 ———- (1)

f’ (x) = 3 x² + 2b x + a

f’ (c) = 0

⟹ 3 c² + 2bc + a = 0

Since c = 2 +

3 + 2b ( ) + a = 0

3 + 4b ) + a = 0

+ + 4b + + a = 0

13 + + 4b + + a = 0 ———- (2)

Equation (2) – Equation (1)

from (1) a + 4(– 6) + 13 = 0

a – 24 + 13 = 0

a = 11

∴ a = 11, b = – 6

7. Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = sin x – sin 2x on [0, π]

Sol: Given function is f(x) = sin x – sin 2x

f(x) is continuous on [0, π]

f(x) is differentiable on (0, π)

f(0) = sin (0) – sin 2(0) = 0

f( π) = sin ( π) – sin 2(π) = 0

f(0) = f( π)

now f’ (x) = cos x – 2 cos 2x

f ‘ (c) = 0

cos c – 2 cos 2c = 0

cos c – 2(2 cos² c – 1) = 0

cos c – 4 cos² c – 2 = 0

4 cos² c – cos c + 2 = 0

c = ∈ (0, π)

∴ Rolle’s theorem is verified

8. Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = (x² – 1) (x – 2) on [ – 1, 2]

Sol: Given function is f(x) = (x² – 1) (x – 2)

f(x) is continuous on [ – 1, 2]

f(x) is differentiable on (– 1, 2)

f (– 1) = (1 – 1) (– 1 – 2) = 0 (– 3) = 0

f (2) = (4 – 1) (2 – 2) = 3 (0) = 0

f (– 1) = f (2)

f(x) satisfies all the conditions of Rolle’s theorem

f’ (x) = (x² – 1) (1 – 0) + (2x – 0) (x – 2)

f’ (x) = (x² – 1) (1) + (2x) (x – 2)

f’ (x) = x² – 1 + 2x² – 4x

= 3x² – 4x – 1

f’ (c) = 0

3c² – 4c – 1 = 0

∴ Rolle’s theorem is verified

9. Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = x (x + 3) on [ – 3, 0]

Sol: Given function is f(x) = x (x + 3)

f(x) is continuous on [ – 3, 0]

f(x) is differentiable on (– 3, 0)

f (– 3) = (– 3) (– 3 + 3) = (– 3) (0) = 0

f (0) = (0) (0 + 3) = 0

f (– 3) = f (0)

f(x) satisfies all the conditions of Rolle’s theorem

f’ (x) = 1 (x + 3) + x (1 + 0) + x (x + 3)

f’ (c) = 0

c² – c – 6 = 0

c² – 3c + 2c – 6 = 0

c (c – 3) + 2 (c – 3) = 0

(c – 3) (c + 2) = 0

c = 3 or c = – 2

c = 3 ∉(– 3, 0) and c = – 2 ∈ (– 3, 0)

∴ Rolle’s theorem is verified

10. Show that there is no real number ‘k’ for which the equation x² – 3x + k has two distinct roots in [0, 1].

Sol: given function is f (x) = x² – 3x + k

Let α, β be the two distinct roots of f (x) and 0 < α < β <1

f’ (α) = 0 and f’ (β) = 0

f(x) is continuous on [ α, β]

f(x) is differentiable on (α, β)

f(α) = f(β)

f’ (x) = 2x – 3

f’ ( c ) = 0

2c – 3 = 0

2c = 3

c = 3/2

11. Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = log (x² + 2) – log 3 on [ – 1, 1]

Sol: Given function is f(x) = log (x² + 2) – log 3

f(x) is continuous on [ – 1, 1]

f(x) is differentiable on (– 1, 1)

f(– 1) = log (1 + 2) – log 3 = log 3 – log 3 = 0

f(1) = log (1 + 2) – log 3 = log 3 – log 3 = 0

f(– 1) = f(1)

f(x) satisfies all the conditions of Rolle’s theorem

f’ (x) = (2x) =

by Rolle’s theorem f’ (c) = 0

= 0 ⟹ 2c = 0 ⟹ c = 0∈ (– 1, 1)

∴ Rolle’s theorem is verified

12. Find ‘c’ so that f’ (c) = ; f(x) = x² – 3x – 1 , a = , b =

13. Find ‘c’ so that f’ (c) = ; f(x) = e^x, a =0, b = 1

Sol: Given f(x) = e^x, a =0, b = 1

f (b) = f(1) = e

f (a) = f(0) = e⁰ = 1

f’ (x) = e^x

f’ (c) =

e^c =

e^c = e – 1

c =

14. Verify Lagrange’s Mean value theorem for the function f(x) = x² – 1 on [2, 3]

Sol: Given function is f(x) = x² – 1

f(x) is continuous on [ 2, 3]

f(x) is differentiable on (2, 3)

f’(x) = 2x

By Lagrange’s mean value theorem f’ (c) =

2c = 5

c = 5/2 ∈ (2, 3)

∴ Lagrange’s Mean value theorem is verified

15. Verify the Lagrange’s Mean value theorem for the function f(x) = sin x – sin 2x on [0, π]

Sol: Given function is f(x) = sin x – sin 2x

f(x) is continuous on [0, π]

f(x) is differentiable on (0, π)

f(π) = sin π – sin 2 π = 0 – 0 = 0

f(0) = sin 0 – sin 2(0) = 0 – 0 = 0

f’(x) = cos x – 2cos 2x

By Lagrange’s mean value theorem f’ (c) =

cos c – 2cos 2c = = 0

cos c – 2cos 2c = 0

cos c – 2 (2 cos²c – 1) = 0

cos c – 4cos²c + 2 = 0

4 cos² c – cos c – 2 = 0

cos c =

c = ()∈ (2, 3)

∴ Lagrange’s Mean value theorem is verified

16. Verify Lagrange’s Mean value theorem for the function f(x) = log x on [1, 2]

Sol: Given function is f(x) = log x

f(x) is continuous on [1, 2]

f(x) is differentiable on (1, 2)

f(2) = log 2; f(1) = log 1 = 0

f’ (x) =

By Lagrange’s mean value theorem f’ (c) =

1/c = log 2

c = ∈ (1, 2)

∴ Lagrange’s Mean value theorem is verified

17. Find the point on the graph of the curve y = x³ where the tangent is parallel to the chord joining the points (1, 1) and (3, 27)

Sol: Given curve is y = x³

f’ (x) = 3x²

let A = (1, 1) and B = (3, 27)

slope of AB= = 13

given slope of AB = slope of the tangent

3x²= 13

∴ the point is

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు

By [email protected] Reddy / January 3, 2023 / Education

భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు

భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ప్రాచీన కాలం నుండి నేటి వరకు గణిత రంగానికి అద్భుతమైన కృషి చేశారు. ఆర్యభట్ట, బ్రహ్మగుప్త, భాస్కర II, సంగమగ్రామానికి చెందిన మాధవ, నీలకంఠ సోమయాజి, శ్రీనివాస రామానుజన్ మరియు వరాహమిహిర వంటి ప్రసిద్ధ పేర్లలో కొన్ని ఉన్నాయి. ఆర్యభట్ట ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, అతను సున్నా అనే భావనను కనుగొన్నాడని నమ్ముతారు. బ్రహ్మగుప్తుడు సరళ మరియు వర్గ సమీకరణాల సంఖ్యాపరమైన పరిష్కారాలపై చేసిన కృషికి ప్రసిద్ధి చెందాడు. భాస్కర II 12వ శతాబ్దానికి చెందిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, అతను గణితం, ఖగోళ శాస్త్రం మరియు జ్యోతిషశాస్త్రంపై అనేక పుస్తకాలు రాశాడు. సంగమగ్రామానికి చెందిన మాధవ అనంత శ్రేణిలో చేసిన కృషికి ప్రసిద్ధి చెందారు. నీలకంఠ సోమయాజి కాలిక్యులస్‌పై చేసిన కృషికి ప్రసిద్ధి చెందారు. శ్రీనివాస రామానుజన్ అన్ని కాలాలలో గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ఒకరిగా విస్తృతంగా పరిగణించబడతారు మరియు సంఖ్య సిద్ధాంతం మరియు గణిత విశ్లేషణపై చేసిన కృషికి ప్రసిద్ధి చెందారు. వరాహమిహిర ఖగోళ శాస్త్రం మరియు గణిత శాస్త్రంలో చేసిన కృషికి ప్రసిద్ధి చెందాడు. ఈ గణిత శాస్త్రజ్ఞులందరూ గణిత రంగానికి గణనీయమైన కృషి చేసారు మరియు వారి పని నేటికీ ఆధునిక గణితాన్ని ప్రభావితం చేస్తుంది.

భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు

ఇక్కడ కొన్ని ప్రముఖ భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల జాబితా ఉంది:

ఆర్యభట్ట (జననం 476 CE)
బ్రహ్మగుప్త (జననం CE 598)
భాస్కర II (జననం 1114 CE)
సంగమగ్రామానికి చెందిన మాధవ (జననం 1350 CE)
నీలకంఠ సోమయాజి (జననం 1444 CE)
శ్రీనివాస రామానుజన్ (జననం 1887 CE)
సుబ్రహ్మణ్యన్ చంద్రశేఖర్ (జననం 1910 CE)
డి.ఆర్. కప్రేకర్ (జననం 1905 CE)
C.R. రావు (జననం 1920 CE)
వశిష్ఠ నారాయణ్ సింగ్ (జననం 1942 CE)

1.ఆర్యభట్ట (జననం 476 CE)

ఆర్యభట (జననం 476 CE) భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, ఖగోళ శాస్త్రవేత్త మరియు జ్యోతిష్కుడు, అతను భారతీయ గణిత శాస్త్రం మరియు ఖగోళశాస్త్రం యొక్క శాస్త్రీయ యుగంలో అభివృద్ధి చెందాడు. స్థల-విలువ వ్యవస్థను అభివృద్ధి చేయడం, సున్నా సంఖ్యను ప్రవేశపెట్టడం మరియు పై విలువను లెక్కించడం వంటి అంశాలతో సహా గణిత శాస్త్ర రంగానికి ఆయన చేసిన కృషికి అతను బాగా పేరు పొందాడు. అతను ఖగోళ శాస్త్రం మరియు జ్యోతిషశాస్త్ర రంగాలకు కూడా ముఖ్యమైన కృషి చేసాడు. ఆర్యభట్టియ మరియు ఆర్య-సిద్ధాంత వంటి అతని రచనలు ఆయా రంగాలలో కళాఖండాలుగా పరిగణించబడతాయి. అతని పని భారతదేశం మరియు వెలుపల గణితం మరియు ఖగోళ శాస్త్రం అభివృద్ధిపై ప్రధాన ప్రభావాన్ని చూపింది.

2.బ్రహ్మగుప్త (జననం 598)

బ్రహ్మగుప్తుడు 7వ శతాబ్దం CEలో నివసించిన భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు ఖగోళ శాస్త్రవేత్త. రెండు చతురస్రాల మొత్తానికి సంబంధించిన గణితంలో ముఖ్యమైన ఫలితం అయిన బ్రహ్మగుప్త సిద్ధాంతంపై చేసిన పనికి అతను బాగా పేరు పొందాడు. అతను అనేక ముఖ్యమైన ఖగోళ శాస్త్ర రచనలను కూడా రాశాడు, ఇవి ఈ కాలం నుండి భారతీయ ఖగోళ శాస్త్రం గురించి మనకు చాలా జ్ఞానానికి మూలం. గణితంలో సున్నా మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల వినియోగాన్ని ప్రవేశపెట్టిన ఘనత ఆయనదే.

3.భాస్కర II (జననం 1114 CE)

భాస్కర II 12వ శతాబ్దం CEలో నివసించిన భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు ఖగోళ శాస్త్రవేత్త. అతను కాలిక్యులస్‌పై చేసిన పనికి మరియు ఆర్యభట్ట రచనలపై అతని వ్యాఖ్యానాలకు ప్రసిద్ధి చెందాడు. అవకలన కాలిక్యులస్ సూత్రాలను మరియు ఉత్పన్నం యొక్క భావనను కనుగొన్న ఘనత ఆయనది. అతను అనేక గణిత మరియు ఖగోళ గణనలను కలిగి ఉన్న సిద్ధాంత శిరోమణి అనే పేరుతో ఖగోళ శాస్త్రంపై ఒక గ్రంథాన్ని కూడా రాశాడు. భాస్కర II యొక్క రచనలు భారతదేశంలో మరియు ప్రపంచవ్యాప్తంగా గణితం మరియు ఖగోళ శాస్త్రం అభివృద్ధిలో ప్రభావం చూపాయి.

4. సంగమగ్రామానికి చెందిన మాధవ (జననం 1350 CE)

సంగమగ్రామానికి చెందిన మాధవ (జననం 1350 CE) అన్ని కాలాలలో అత్యంత ప్రభావవంతమైన గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ఒకరిగా విస్తృతంగా పరిగణించబడుతుంది. పై కోసం అనంత శ్రేణి మరియు త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల కోసం పవర్ సిరీస్ విస్తరణతో సహా అనేక ముఖ్యమైన గణిత సిద్ధాంతాలను కనుగొన్న ఘనత ఆయనది. అతను ఏకీకరణ మరియు అవకలన సమీకరణాల యొక్క అనేక పద్ధతులను కూడా అభివృద్ధి చేశాడు. భారతదేశంలోని మొదటి గణిత పాఠశాలలలో ఒకటైన కేరళ స్కూల్ ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్ స్థాపకుడిగా ఆయన ఈ రోజు జ్ఞాపకం చేసుకున్నారు. ఆధునిక గణితశాస్త్రం అభివృద్ధిలో అతని పని ప్రధాన పాత్ర పోషించింది మరియు అతను తరచుగా “మధ్యయుగ భారతదేశం యొక్క గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు” గా సూచించబడ్డాడు.

5.నీలకంఠ సోమయాజి (జననం 1444 CE)

నీలకంఠ సోమయాజి 1444 CEలో జన్మించిన భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, ఖగోళ శాస్త్రవేత్త మరియు జ్యోతిష్కుడు. అతను హిందూ క్యాలెండర్ యొక్క ఖగోళ గణనలపై చేసిన కృషికి ప్రసిద్ధి చెందాడు మరియు కోపర్నికన్ మోడల్‌కు సమానమైన విశ్వం యొక్క సూర్యకేంద్రక నమూనాను ప్రతిపాదించిన ఘనత కూడా అతనికి ఉంది. అతను కేరళ స్కూల్ ఆఫ్ ఖగోళ శాస్త్రం మరియు గణిత శాస్త్రాన్ని అభివృద్ధి చేయడంలో ప్రధాన వ్యక్తి. అతను ప్రసిద్ధ ఆర్యభట్యభాష్యంతో సహా అనేక గ్రంథాలను రచించాడు, ఇది గణితశాస్త్రం మరియు ఖగోళ శాస్త్రంపై ఆర్యభట్ట యొక్క ప్రసిద్ధ రచన యొక్క విస్తరించిన సంస్కరణ. ఖగోళ శాస్త్రం మరియు గణిత శాస్త్రానికి నీలకంఠ సోమయాజి చేసిన కృషి నేటికీ అధ్యయనం చేయబడుతోంది మరియు అతని రచనలు ఇప్పటికీ ఆధునిక పరిశోధనలకు రిఫరెన్స్ పాయింట్‌లుగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి.

6. శ్రీనివాస రామానుజన్ (జననం 1887 CE)

శ్రీనివాస రామానుజన్ చరిత్రలో గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ఒకరిగా గుర్తుంచుకుంటారు. భారతదేశంలోని మద్రాసులో 1887 CEలో జన్మించిన రామానుజన్ ఎక్కువగా స్వీయ-బోధన కలిగి ఉన్నాడు మరియు అధికారిక విశ్వవిద్యాలయ విద్యను కలిగి ఉండడు. అతను గణనీయమైన సహకారం అందించాడు

గణిత విశ్లేషణ, సంఖ్య సిద్ధాంతం, అనంత శ్రేణి మరియు నిరంతర భిన్నాలు. రామానుజన్ రచనలు ఆధునిక గణితశాస్త్రంపై తీవ్ర ప్రభావాన్ని చూపాయి మరియు తరతరాలుగా గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ప్రేరణగా నిలిచాయి. అతని ఆవిష్కరణలు మరియు రచనలు పూర్తిగా కొత్త అధ్యయన రంగాలను తెరిచాయి మరియు అతని వారసత్వం రాబోయే సంవత్సరాల్లో అనుభూతి చెందుతూనే ఉంటుంది.

7. సుబ్రహ్మణ్యన్ చంద్రశేఖర్ (జననం 1910 CE)

సుబ్రహ్మణ్యన్ చంద్రశేఖర్ 1910లో జన్మించిన భారతీయ-అమెరికన్ ఖగోళ భౌతిక శాస్త్రవేత్త మరియు నోబెల్ గ్రహీత. అతను నక్షత్రాల పరిణామం, బ్లాక్ హోల్స్ మరియు నక్షత్రాల భౌతిక ప్రక్రియల అవగాహనకు ప్రాథమిక సహకారం అందించాడు. తెల్ల మరగుజ్జు నక్షత్రం యొక్క గరిష్ట ద్రవ్యరాశిని తెలిపే చంద్రశేఖర్ పరిమితి అని ఇప్పుడు పిలువబడే దాని ఉనికిని సూచించిన మొదటి వ్యక్తి. నక్షత్రాల నిర్మాణం మరియు పరిణామంపై చేసిన కృషికి గాను 1983లో భౌతిక శాస్త్రంలో నోబెల్ బహుమతిని అందుకున్న మొదటి ఖగోళ భౌతిక శాస్త్రవేత్త. అతను 20వ శతాబ్దపు అత్యంత ప్రభావవంతమైన ఖగోళ శాస్త్రవేత్తలలో ఒకరిగా పరిగణించబడ్డాడు మరియు ఆధునిక ఖగోళ భౌతిక శాస్త్రంలో అతని సంచలనాత్మక పరిశోధన అధ్యయనం మరియు అన్వయించడం కొనసాగుతోంది.

8.డి.ఆర్. కప్రేకర్ (జననం 1905 CE)

డి.ఆర్. కప్రేకర్ 1905 CEలో జన్మించిన భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు వినోద కంప్యూటర్ శాస్త్రవేత్త. అతను కప్రేకర్ యొక్క స్థిరాంకాన్ని కనిపెట్టడంలో ప్రసిద్ధి చెందాడు, ఇది 6174 ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది. అతను కప్రేకర్ యొక్క కార్యకలాపాలను కూడా కనుగొన్నాడు, ఇవి ఏ సంఖ్యనైనా మార్చడానికి మరియు కప్రేకర్ యొక్క స్థిరాంకాన్ని ఉత్పత్తి చేయడానికి ఉపయోగించే దశల శ్రేణి. అతని పని క్రిప్టోగ్రఫీ మరియు నంబర్ థియరీ వంటి వివిధ రంగాలలో ఉపయోగించబడింది. అతను ఆసక్తిగల వంతెన ఆటగాడు, మరియు ఈ అంశంపై అనేక పుస్తకాలు రాశాడు. కప్రేకర్ వారసత్వం ఈనాటికీ కొనసాగుతోంది మరియు అతని పని గణిత రంగంలో శాశ్వత ప్రభావాన్ని చూపింది.

9.C.R. రావు (జననం 1920 CE)

C.R. రావు (జననం 1920 CE) ఒక భారతీయ-అమెరికన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, గణాంకవేత్త మరియు ప్రొఫెసర్. అతను స్టాటిస్టిక్స్ రంగంలో అగ్రగామి నిపుణులలో ఒకరిగా పరిగణించబడ్డాడు, అంచనా సిద్ధాంతం, మల్టీవియారిట్ విశ్లేషణ మరియు అవకలన జ్యామితి రంగాలకు ప్రధాన కృషి చేశాడు. రావు లీనియర్ స్టాటిస్టికల్ ఇన్ఫెరెన్స్ మరియు ఇట్స్ అప్లికేషన్స్ అండ్ స్టాటిస్టిక్స్ అండ్ ట్రూత్‌తో సహా అనేక పుస్తకాలను కూడా రచించారు. అతను సాంఖ్య జర్నల్‌కు వ్యవస్థాపక సంపాదకుడు మరియు పెన్ స్టేట్ యూనివర్శిటీలో G.S. మద్దాల చైర్ మరియు పిట్స్‌బర్గ్ విశ్వవిద్యాలయంలో స్టాటిస్టిక్స్ విభాగానికి చైర్‌తో సహా అనేక విద్యాపరమైన పదవులను నిర్వహించారు. గణాంక రంగానికి చేసిన కృషికి గాను రావుకు 2002లో నేషనల్ మెడల్ ఆఫ్ సైన్స్ మరియు 2001లో పద్మభూషణ్ లభించాయి.

10.వశిష్ఠ నారాయణ్ సింగ్ (జననం 1942 CE)

వశిష్ఠ నారాయణ్ సింగ్ (జననం 1942 CE) ఒక భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, ఆర్థికవేత్త మరియు సామాజిక కార్యకర్త. అతను గణిత ఆర్థిక శాస్త్ర రంగంలో తన మార్గదర్శక కృషికి, అణగారిన వర్గాల హక్కుల కోసం అలుపెరగని పోరాటానికి మరియు సామాజిక న్యాయం కోసం జీవితకాల నిబద్ధతకు ప్రసిద్ధి చెందాడు. అతను అనేక పుస్తకాలను రచించాడు మరియు భారతదేశంలోని అనేక విశ్వవిద్యాలయాలలో ప్రొఫెసర్‌గా పనిచేశాడు. అంతర్జాతీయంగా పలు విశ్వవిద్యాలయాల్లో విజిటింగ్ ప్రొఫెసర్‌గా కూడా సేవలందించారు. అతను అనేక విశ్వవిద్యాలయాలలో అనేక గౌరవ పదవులను నిర్వహించాడు మరియు జాతీయంగా మరియు అంతర్జాతీయంగా అనేక అవార్డులతో సత్కరించబడ్డాడు. గణితం, ఆర్థిక శాస్త్రం మరియు సామాజిక న్యాయ రంగానికి ఆయన చేసిన కృషి ఎనలేనిది మరియు ఎందరికో స్ఫూర్తిదాయకంగా కొనసాగుతోంది.

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

Ch. 2 Mathematical Indunction Exerxise Solutions

By [email protected] Reddy / September 16, 2022 / Education

Mathematical Indunction (M.I) Exerxise wise Solutions

Mathematical Indunction: It is a technique for proving results or establishing statements for natural numbers. This part illustrates the method through a variety of examples.

Definition:
Mathematical Induction is a mathematical technique which is used to prove a statement, a formula or a theorem is true for every natural number.

The technique involves steps to prove a statement, as stated below −
Let P(n) or S(n) be the given statement

Step 1: For n =1
we get LHS = RHS
then P(n) is true for n= 1
Step 2: Let us assume thet P(n) is true for n =k
Step 3: We have to Prove P(n) is true for n= k + 1

Laplace:

Laplace was a mathematecian and astronomer whose work was pivotal to the development of mathematical astronomy. His most outstanding work was done in the fields of celestial mechonics, probability, differential equations, and geodesy. His five volume work on celestial mechonics earned him the title of the Newton of France.

Laplace

“Analysis and natural philosophy owe their most important discoveries to this fruitful means, which is called indunction” – Pierr Simon de Laplace

Exercise 2(a)

Using Mathematical Indunction, Prove each of the following statement for all n ∈ N.

1. 1² + 2² + 3² + …… + n²=

Let p(n) be the given statement that

1² + 2² + 3² + …… + n²=

For n= 1

LHS = 1² = 1

RHS = = = 1

LHS = RHS

P(n) is true for n = 1

Let us assume that P(n) is true for n = k

i.e., 1² + 2² + 3² + …… + k²= ………… (1)

for n = k + 1

add (k +1)² on both sides of (1)

1² + 2² + 3² + …… + k² + (k +1)² =

Mathematical Induction 5

Mathematical Induction 6

P(n) is true for n = k+ 1

∴ By the principle of M.I. P(n) is true for all n ∈ N

∴ 1² + 2² + 3² + …… + n²=

2. 2.3 + 3.4 + 4.5 + ……… up to n terms =

First factors of given series are: 2, 3, 4, 5, …

a = 2, d = 1

a_n = a + (n – 1) d

= 2 + (n – 1) (1)

= 2 + n – 1

= n + 1

Second factors of given series are: 3, 4, 5,…

a = 3, d = 1

a_n = 3 + (n – 1) d

= 3 + (n – 1) (1)

= 3 + n – 1

= n + 2

n^th term of given series is (n + 1) (n + 2)

let P(n) be the given statement that

2.3 + 3.4 + 4.5 + ……… + (n + 1) (n + 2) =

For n = 1

LHS = 2.3 = 6

RHS = = = = 6

LHS = RHS

P(n) is true for n = 1

Let us assume that P(n) is true for n = k

i.e., 2.3 + 3.4 + 4.5 + ……… + (k + 1) (k + 2) = ………… (1)

for n = k + 1

add (k + 2) (k + 3) on both sides of (1)

2.3 + 3.4 + 4.5 + ……… + (k + 1) (k + 2) + (k + 2) (k + 3)

= + (k + 2) (k + 3)

Mathematical Induction 9

Mathematical Induction 10

Mathematical Induction 11

P(n) is true for n = k+ 1

∴ By the principle of M.I.

P(n) is true for all n ∈ N

∴ 2.3 + 3.4 + 4.5 + ……… up to n terms =

3 .

Sol:

let P(n) be the given statement that

For n = 1

LHS = =

RHS = = Mathematical Induction 16 =

LHS = RHS

P (n) is true for n = 1

Let us assume that P(n) is true for n = k

………… (1)

For n = k + 1

Add Mathematical Induction 22 on both sides of (1)

P (n) is true for n = k + 1

∴ By the principle of M.I. P(n) is true for all n ∈ N

∴

4. 4³ + 8³ + 12³ + … up to n terms = 16 n² (n + 1)²

Sol:

let P(n) be the given statement that

4, 8, 12, … are in AP

a = 4, d = 4

a_n = a + (n – 1) d

= 4 + (n – 1)4

= 4 + 4n – 4

= 4n

n^th term of given series is (4n)³

let P(n) be the given statement that

4³ + 8³ + 12³ + … + (4n)³= 16 n² (n + 1)²

For n = 1

LHS = 4³ = 63

RHS = 16 (1)² (1 + 1)² = 16 × 4 = 64

LHS = RHS

P (n) is true for n = 1

Let us assume that P(n) is true for n = k

4³ + 8³ + 12³ + … + (4k)³= 16 k² (k + 1)² ………… (1)

For n = k + 1

Add [4 (k + 1)]³ on both sides of (1)

4³ + 8³ + 12³ + … + (4k)³= 16 k² (k + 1)² + [4 (k + 1)]³

= 16 k² (k + 1)² + 64 (k + 1)³

= 16 (k + 1)² [k² + 4 (k + 1)]

= 16 (k + 1)² [k² + 4 k + 4]

= 16 (k + 1)² (k + 2)²

= 16 (k + 1)² ( + 1)²

P (n) is true for n = k + 1

∴ By the principle of Mathematical induction

P(n) is true for all n ∈ N

5. a + (a + d) + (a + 2d) + …. up to n terms =

Sol:

Given series is a + (a + d) + (a + 2d) + …. up to n terms =

n^th term of the given series is a + (n – 1) d

let P(n) be the given statement that

a + (a + d) + (a + 2d) + …. +[a + (n – 1) d] =

for n = 1

LHS = a; RHS = = a

LHS = RHS

P(n) is true for n = 1

Let us assume that p(n) is true for n = k

a + (a + d) + (a + 2d) + …. + [a + (k – 1) d] = ……. (1)

add (a + k d) on both sides of (1)

a + (a + d) + (a + 2d) + …. [a + (k – 1) d] + [a + kd] = + [a + kd]

Mathematical Induction 28

P (n) is true for n = k + 1

∴ By the principle of Mathematical induction

P(n) is true for all n ∈ N

Mathematical Induction

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

Functions Exercise 1c Solutions ||TS|| Basics In MAths

By [email protected] Reddy / August 29, 2022 / Education

Functions Exercise 1c Solutions

Functions Exercise 1c

The famous mathematician ” Lejeune Dirichlet” defined a function.

Function: A variable is a symbol which represents any one of a set of numbers, if two variables x and y so related that whenever a value is assigned to x there is autometically assigned by some rule or correspondence a value to y, then we say y is a function of x.

Chapter 1 Functions Exercise 1c Solutions for inter first year students, prepared by Mathematics expert of www.basicsinmaths.com

Functions Exercise 1c

I.

1.Find the domains of the following real valued functions

(i)

f (x) =

given function is f (x) =

f (x) is defined when (x² – 1) (x + 3) ≠ 0

⟹ (x² – 1) ≠ 0 or (x + 3) ≠ 0

⟹ (x + 1) (x – 1) ≠ 0 or (x + 3) ≠ 0

⟹ x ≠ 1, x ≠ – 1 or x ≠ – 3

∴ Domain of f(x) is R – {– 1, – 3, 1}

(ii)

f (x) =

Given function is f (x) =

f (x) is defined when (x – 1) (x – 2) (x – 3) ≠ 0

⟹ x ≠ 1, x ≠ 2 or x ≠ 3

∴ Domain of f(x) is R – {1, 2, 3}

(iii)

f (x) =

Given function is f (x) =

f (x) is defined when 2 – x > 0 and 2 – x ≠ 1

⟹ 2 > x and 2 – 1 ≠ x

⟹ 2 > x and x ≠ 1

∴ Domain of f(x) is (– ∞, 2) – {1}

(iv)

f (x) =

Given function is f (x) =

f (x) is defined when x ∈ R

∴ Domain of f(x) is R

Functions Exercise 1c

(v)

f (x) =

Given function is f (x) =

f (x) is defined when 4x – x² ≥ 0

⟹ x (4 – x) ≥ 0

⟹ x (x – 4) ≤ 0

⟹ (x – 0) (x – 4) ≤ 0

⟹ x ∈ [0, 4]

∴ Domain of f(x) is [0, 4]

(vi)

f (x) =

Given function is f (x) =

f (x) is defined when 1 – x² > 0

⟹ x² – 1 < 0

⟹ (x – 1) (x + 1) < 0

⟹ x ∈ (– 1, 1)

∴ Domain of f(x) is (– 1, 1)

(vii)

f (x) =

Given function is f (x) =

f (x) is defined when x + 1≠ 0

⟹ x ≠ – 1

∴ Domain of f(x) is R – {– 1}

(viii)

f(x) =

Given function is f (x) =

f (x) is defined when x² – 25 ≥ 0

⟹ (x – 5) (x + 5) ≥ 0

⟹ x ∈ (–∞, –5] ∪ [5, ∞)

⟹ x ∈ R – (– 5, 5)

∴ Domain of f(x) is R – (– 5, 5)

Functions Exercise 1c

(ix)

f(x) =

Given function is f (x) =

f (x) is defined when x – [x] ≥ 0

⟹ x ≥ [x]

⟹ x ∈ R

∴ Domain of f(x) is R

(x)

f(x) =

Given function is f (x) =

f (x) is defined when [x] – x ≥ 0

⟹ [x] ≥ x

⟹ x ∈ Z

∴ Domain of f(x) is Z

Functions Exercise 1c

2. find the ranges of the following real valued functions

(i)

f(x) =

Given function is f (x) =

Let y =

⟹ |4 – x²| = e^y

∵ e^y > 0 ∀ y ∈ R

∴ Range of f(x) is R

(ii)

f(x) =

Given function is f (x) =

f (x) is defined when [x] – x ≥ 0

⟹ [x] ≥ x

⟹ x ∈ Z

Domain of f(x) is Z

Range of f = {0}

(iii)

f(x) = Functions 1(c) images 15

Given function is f (x) = Functions 1(c) images 15

f (x) is defined when x ∈ R

Domain of f(x) is R

For x ∈ R [x] is an integer

Since sin nπ = 0, ∀ n ∈ z

⟹ sin π[x] = 0

∴ Range of f = {0}

(iv)

f (x) =

Given function is f (x) =

f (x) is defined when x – 2 ≠ 0

⟹ x ≠ 2

Domain of f(x) is R – {2}

Let y =

= x + 2

If x = 2 ⟹ y = 2 + 2 = 4

∴ Range of f(x) is R – {4}

Functions Exercise 1c

(v)

f (x) =

let y =

y² = 9 + x²

x² = y² – 9

x =

it is defined when y² – 9 ≥ 0

⟹ (y – 3) (y + 3) ≥ 0

y ∈ (– ∞, – 3] ∪ [3, ∞)

but y = ≥ 0

∴ Range of f(x) is [3, ∞)

3. If f and g are real valued functions f(x) = 2x – 1 ang g (x) = x² then

find

Sol:

Given f and g are real valued functions f(x) = 2x – 1 ang g (x) = x²

(i)

(3f – 2g) (x) = 3 f(x) – 2g (x)

= 3 (2x – 1) – 2(x²)

= 6x – 3 – 2x²

= – 2x² + 6x – 3

∴ (3f – 2g) (x) =– 2x² + 6x – 3

(ii)

(fg) (x) = f (x) g (x)

= (2x – 1) (x²)

= 2x³ + x²

∴ (fg) (x) = 2x³ + x²

(iii)

Functions 1(c) images 20

4. If f = {(1, 2), (2, – 3) (3, – 1)} then find (i) 2f (ii) (fog) 2 + f iii) f² (iv)

Sol:

Given f = {(1, 2), (2, – 3) (3, – 1)}

(i)

(2f) (1) = 2 f (1) = 2 × 2 = 4

(2f) (2) = 2 f (2) = 2 × – 3 = – 6

(2f) (3) = 2 f (3) = 2 × – 1 = – 2

∴ 2f = {(1, 4), (2, – 6) (3, – 2)}

(ii)

(2 + f) (1) = 2 + f (1) = 2 + 2 = 4

(2 + f) (2) = 2 + f (2) = 2 + (– 3) = – 1

(2 + f) (3) = 2 + f (3) = 2 + (– 1) = 1

∴ 2 + f = {(1, 4), (2, – 1) (3, 1)}

(iii)

(f²) (1) = [f (1))]² = 2² = 4

(f²) (2) = [f (2))]² = (– 3)² = 9

(f²) (3) = [f (1))]² = (– 1)² = 1

∴ f²= {(1, 4), (2, 9) (3, 1)}

(iv)

Functions 1(c) images 22

II.

1.Find the domain of the following real valued functions

(i)

f (x) =

f(x) is defined when x² – 3x + 2 ≥ 0

x² – 2x – x + 2 ≥ 0

x (x – 2) – 1(x – 2) ≥ 0

(x – 1) (x – 2) ≥ 0

x ∈ (– ∞, 1] ∪ [2, ∞)

∴ Domain of f(x) is R – (1, 2)

(ii)

f(x) = log (x² – 4x + 3)

f(x) is defined when x² – 4x + 3 > 0

x² – 3x – x + 3 > 0

x (x – 3) – 1(x – 3) > 0

(x – 1) (x – 3) > 0

x ∈ (– ∞, 1) ∪ (3, ∞)

∴ Domain of f(x) is R – [1, 3]

(iii)

f(x) =

f(x) is defined when 2 + x ≥ 0, 2 – x ≥ 0 and x ≠ 0

x ≥ – 2, x ≤ 2 and x ≠ 0

– 2 ≤ x ≤ 2 and x ≠ 0

x ∈ [–2, 2] – {0}

∴ Domain of f(x) is [–2, 2] – {0}

(iv)

f(x) = Functions 1(c) images 26

f(x) is defined in two cases as follows:

case (i) 4 – x² ≥ 0 and [x] + 2 > 0

x² – 4 ≤ 0 and [x] > –2

(x – 2) (x + 2) ≤ 0 and [x] > –2

x ∈ [– 2, 2] and x ∈ [– 1, ∞)

x ∈ [– 1, 2]

case (ii) 4 – x² ≤ 0 and [x] + 2 < 0

x² – 4 ≥ 0 and [x] < –2

(x – 2) (x + 2) ≥ 0 and [x] < –2

x ∈ (– ∞, –2] ∪ [2, ∞) and x ∈ (–∞, –2)

x ∈ (–∞, –2)

from case (i) and case (ii)

x ∈ (–∞, –2) ∪ [– 1, 2]

∴ Domain of f(x) is (–∞, –2) ∪ [– 1, 2]

(v)

f(x) =

f(x) is defined when ≥ 0 and x – x² > o

x – x² ≥ (0.3)⁰ and x² – x < 0

x – x² ≥ 1 and x (x – 1) < 0

x²–x + 1 ≤ 0 and (x – 0) (x – 1) < 0

it is true for all x ∈ R and x ∈ (0, 1)

∴ domain of f(x) = R∩ (0, 1) = (0, 1)

(vi)

f(x) =

f(x) is defined when x +|x| ≠ 0

|x| ≠ – x

⟹|x| = x

⟹ x > 0

x ∈ (0, ∞)

∴ Domain of f(x) is (0, ∞)

2. Prove that the real valued function is an even function

Sol:

Given f(x) =

Functions 1(c) images 31

Functions 1(c) images 32

3. Find the domain and range of the following functions

(i)

f (x) =

Given f(x) =

Since [x] is an integer

sin π[x] = tan π[x] = 0 ∀ x ∈ R

∴ domain of f(x) is R

and

since tan π[x] = 0

Range of f(x) = {0}

(ii)

f(x) =

Given f (x) =

It is defined when 2 – 3x ≠ 0

⟹ 2 ≠ 3x

⟹ x ≠ 2/3

∴ Domain of f (x) = R – {2/3}

Let y = f(x)

y =

⟹ y (2 – 3x) = x

2y – 3xy = x

2y = x + 3xy

2y = x (1 + 3y)

⟹ x =

It is defined when 1 + 3y ≠ 0

1 ≠ –3y

y ≠ – 1/3

∴ Range of f (x) = R – {– 1/3}

(iii)

f(x) = |x| + | 1 + x|

Given function is f (x) = |x| + |1 + x|

f (x) is defined for all x ∈ R

∴ domain of f(x) = R

Functions 1(c) images 36

f (– 3) = |– 3| + |1 – 3|

=|– 3| + |– 2|

= 3 + 2 = 5

f (– 2) = |– 2| + |1 – 2|

=|– 2| + |– 1|

= 2 + 1 = 3

f (– 1) = |– 1| + |1 – 1|

=|– 1| + |0|

= 1 + 0 = 1

f (0) = |0| + |1 + 0| = 1

f (1) = |1| + |1 + 1|

= 1 + |2|

= 1 + 2 = 3

f (2) = |2| + |1 + 2|

= |2| + |3|

= 2 + 3 = 5

f (3) = |3| + |1 + 3|

= |3| + |4|

= 3 + 4 = 7

∴ Range of f(x) = [1, ∞)

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

Functions Exercise 1b Solutions

By [email protected] Reddy / August 16, 2022 / Education

Functions Exercise 1b Solutions

Functions Exercise 1b

The famous mathematician ” Lejeune Dirichlet” defined a function.

Chapter 1 Functions Exercise 1b Solutions for inter first year students, prepared by Mathematics expert of www.basicsinmaths.com

Functions Exercise 1b

Exercise 1(b) Solutions

I.

1.If f (x) = e^x and g(x) = , then show that f og = gof and f^-1 = g^-1

Sol:

Given f (x) = e^x and g(x) =

(fog) (x) = f (g (x))

= f ( )

= x ————- (1)

(gof) (x) = g (f (x))

= g (e^x)

= x

= x ————- (2)

From (1) and (2) f og = gof

let y = f(x)

x = f^-1(y)

y = e^x

x =

f^-1 (x) =

let g(x) = z

x = g^-1(z)

z =

x = e^z

g^-1(x) = e^x

2. If f (y) = , g (y) = then show that fog(y) = y

Sol:

Given f (y) = , g (y) =

Now

fog(y) = f(g(y))

Functions 1(b) images 8

∴ fog(y) = y

3. If f: R ⟶ R, g: R ⟶ R is defined by f(x) = 2x² + 3 ang g (x) = 3x – 2 then find

(i) (fog) (x) (ii) (gof) (x) (iii) (fof) (0) (iv) go(fof)(3)

Sol:

Given f: R ⟶ R is, g: R ⟶ R is defined by f(x) = 2x² + 3 ang g (x) = 3x – 2

(i) (fog) (x) = f(g(x))

= f(3x – 2)

= 2 (3x – 2)² + 3

= 2 (9x² – 12x + 4) + 3

= 18 x² – 24x + 8 + 3

= 18 x² – 24x + 11

∴ (fog) (x) = 18 x² – 24x + 11

(ii) (gof) (x) = g (f (x))

= g (2x² + 3)

= 3(2x² + 3) – 2

= 6x² + 9 – 2

= 6 x² + 7

∴ (gof) (x) = 6 x² + 7

PDF Files || Inter Maths 1A &1B || (New)

6th maths notes|| TS 6 th class Maths Concept

TS 10th class maths concept (E/M)

(iii) (fof) (0) = f (f (0))

= f (2(0)² + 3)

= f (2(0) + 3)

= f (3)

= 2 (3)² + 3

= 2 (9) + 3

= 18 + 3 = 21

(iv) go(fof) (3) = go (f (f (3)))

= go (f (2 (3)² + 3))

= go (f (21))

= g (f (21))

= g (2 (21)² + 3))

= g (2 (441) + 3))

= g (882 + 3)

= g (885)

= 3 (885) – 2

= 2655 – 2

= 2653

∴ go(fof) (3) = 2653

Functions Exercise 1b

Ts Inter Maths IA Concept

4. If f: R ⟶ R; g: R ⟶ R is defined by f(x) = 3x – 1, g (x) = x² + 1, then find

(i) (fof) (x² + 1) (ii) (fog) (2) (iii) (gof) (2a – 3)

Sol:

Given f: R ⟶ R; g: R ⟶ R is defined by f(x) = 3x – 1, g (x) = x² + 1

(i) (fof) (x² + 1) = f (f (x² + 1))

= f (3 (x² + 1)– 1)

= f (3x² + 3– 1)

= f (3x² + 2)

= 3(3x² + 2) – 1

= 9x² + 6 – 1

= 9x² + 5

(ii) (fog) (2) = f (g (2))

= f (2² + 1)

=f (4 + 1)

= f (5)

= 3(5) – 1

= 15 – 1

= 14

(iii) (gof) (2a – 3) = g (f (2a – 3))

= g (3(2a – 3) – 1)

= g (6a – 9 – 1)

= g (6a – 10)

= (6a – 10)² + 1

= 36² – 120a + 100 + 1

= 36² – 120a + 101

5. If f(x) = and g(x) = for all x ∈ (0, ∞) then find (gof) (x)

Sol:

Given f(x) = and g(x) = for all x ∈ (0, ∞)

(gof) (x) = g (f (x))

= g ( )

∴ (gof) (x) =

6. If f(x) = 2x – 1 and g(x) = for all x ∈ R then find (gof) (x)

Sol:

Given f(x) = 2x – 1 and g(x) = for all x ∈ R

Functions 1(b) images 14

∴ gof(x) = x

7. If f (x) = 2, g (x) = x² and h(x) = 2x ∀ x ∈ R, then find (fo(goh)) (x)

Sol:

Given f (x) = 2, g (x) = x² and h(x) = 2x ∀ x ∈ R

(fo(goh)) (x) = fo (g (h (x))

= fo g(2x)

= f (g(2x))

= f((2x)²)

= f(4x²)

= 2

∴ (fo(goh)) (x) = 2

Functions Exercise 1b Solutions

8. Find the inverse of the following functions

(i) a, b ∈ R, f: R ⟶ R defined by f(x) = ax + b, (a ≠ 0)

Given a, b ∈ R, f: R ⟶ R defined by f(x) = ax + b

Let y = f(x)

x = f^-1(y)

now y = ax + b

ax = y – b

x =

f^-1(y) =

∴ f^-1(x) =

(ii) f: R ⟶ (0, ∞) defined by f(x) = 5^x

Let y = f(x)

x = f^-1(y)

now y = 5^x

x =

f^-1(y) =

∴ f^-1(x) =

(iii) f: (0, ∞) ⟶ R defined by f(x) =

Let y = f(x)

x = f^-1(y)

now y =

x = 2^y

f^-1(y) = 2^y

∴ f^-1(x) = 2^x

9. If f(x) = 1 + x + x² + … for , then show that f^-1 (x) =

Sol:

Given, f(x) = 1 + x + x² + … for

1 + x + x² + … is an infinite G.P

a = 1, r = x

S_∞ =

Now

f (x) =

Let y = f(x)

x = f^-1(y)

now y =

1 – x =

x = 1 –

f^-1(y) =

∴ f^-1(x) =

10 . If f: [1, ∞) ⟶ [1, ∞) defined by f (x) = 2^{x (x – 1}⁾ then find f^-1 (x)

Sol:

Given f: [1, ∞) ⟶ [1, ∞) defined by f (x) = 2^{x (x – 1)}

Let y = f(x)

x = f^-1(y)

now y = 2^{x (x – 1)}

= x (x – 1)

x² – x =

x² – x – = 0

Functions 1(b) images 28

Functions 1(b) images 29

Functions Exercise 1b Solutions

II.

1. If f (x) = , x ≠ ± 1, then verify (fof^-1) (x) = x

Sol:

Given f (x) = , x ≠ ± 1

Let y = f(x)

x = f^-1(y)

now y =

y (x + 1) = x – 1

xy + y = x – 1

1 + y = x – xy

1 + y = x (1 – y)

x =

f^-1(y) =

∴ f^-1(x) =

Now

Functions 1(b) images 33

2. If A = {1, 2, 3}, B = {α, β, γ}, C = {p, q, r} and f: A ⟶ B; g: B ⟶ C is defined by f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}, g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}, then show that f and g are bijective functions and (gof)^-1 = f^-1og^-1

Sol:

Given A = {1, 2, 3}, B = {α, β, γ}, C = {p, q, r} and f: A ⟶ B; g: B ⟶ C is defined by f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}, g = {(α, p), (β, r), (γ, p)}

A = {1, 2, 3}, B = {α, β, γ}

f: A ⟶ B; and f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}

⟹ f (1) = α; f (2) = γ; f (3) = β

⟹ Every element of set A has a unique image in set B

f is injection (one – one)

range of f = codomain of f

⟹ f is surjection (on to)

∴ f is bijective

B = {α, β, γ}, C = {p, q, r}

g: B ⟶ C is defined by g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}

⟹ g (α) =q; g (β) = r; g (γ) = p

⟹ Every element of set B has a unique image in set C

g is injection (one – one)

range of g = codomain of g

⟹ g is surjection (on to)

∴ g is bijective

Now

f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}, g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}

gof = {(1, q), (2, p), (3, r)

(gof)^-1 = {(q, 1), (p, 2), (r, 3)} ———– (1)

f^-1 = {(α, 1), (γ, 2), (β, 3)

g^-1 = {(q, α), (r, β), (p, γ)}

f^-1og^-1 = {(q, 1), (p, 2), (r, 3)} ———– (2)

From (1) and (2)

(gof)^-1 = f^-1og^-1

3. If f: R ⟶ R; g: R ⟶ R is defined by f (x) = 3x – 2 and g(x) = x² + 1 then find

(i) (gof^-1) (2) (ii) (gof) (x – 1)

Sol:

Given f: R ⟶ R; g: R ⟶ R is defined by f (x) = 3x – 2 and g(x) = x² + 1

Let y = f(x)

x = f^-1(y)

now y = 3x – 2

3x = y + 2

x =

f^-1(y) =

f^-1(x) =

Functions 1(b) images 36

∴ (gof^-1) (2) =

(ii) (gof) (x – 1) = g (f (x – 1))

= g (3(x – 1) – 2)

= g (3x – 3 – 2)

= g (3x – 5)

= (3x – 5)² + 1

= 9x² – 30x + 25 + 1

= 9x² – 30x + 26

∴(gof) (x – 1) = 9x² – 30x + 26

4. Let f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)} and g^-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)}, then show that (gof)^-1 = f^-1og^-1

Sol:

Given f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)} and g^-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)}

⟹ f ^-1 = {(a, 1), (c, 2), (d, 4), (b, 3)} and g = {(a, 2), (b, 4), (c, 1), (d, 3)}

Now gof = {(1, 2), (2, 1), (4, 3), (3, 4)}

(gof)^-1 = {(2, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)} ———(1)

g^-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)} ; f ^-1 = {(a, 1), (c, 2), (d, 4), (b, 3)}

f^-1og^-1 = {(2, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)} ———(2)

from (1) and (2)

(gof)^-1 = f^-1og^-1

5. If f: R ⟶ R; g: R ⟶ R is defined by f (x) = 2x – 3 and g(x) = x³ + 5 then find (fog)^-1 (x)

Sol:

Given R ⟶ R; g: R ⟶ R is defined by f (x) = 2x – 3 and g(x) = x³ + 5

(fog) (x) = f (g(x))

= f (x³ + 5)

= 2 (x³ + 5) – 3

= 2 x³ + 10 – 3 = 2x³ + 7

Let y = (fog) (x)

⟹ x = (fog)^-1(y)

y = 2x³ + 7

2x³ = y – 7

x³ =

x = Functions 1(b) images 39

(fog)^-1(y)= Functions 1(b) images 39

(fog)^-1(x)= Functions 1(b) images 40

6. Let f(x) = x², g(x) = 2^x then solve the equation (fog) (x) = (gof) (x)

Sol:

Given f(x) = x², g(x) = 2^x

(fog) (x) = f(g(x))

= f (2^x)

= (2^x)²

= 2^2x

(gof) (x) = g(f(x))

= g (x²)

Now

(fog) (x) = (gof) (x)

⟹ 2^2x =

2x = x² [∵ if a^m = aⁿ , then m = n]

x² – 2x = 0

⟹ x (x – 2) = 0

⟹x = 0 or x – 2 = 0

∴ x = 0 or x = 2

7. If f (x) = , x ≠ ±1 then find (fofof) (x) and (fofofof) (x)

Sol:

Given f (x) = Functions 1(b) images 43 , x ≠ ±1

Functions 1(b) images 42

Functions 1(b) images 44

PDF Files || Inter Maths 1A &1B || (New)

6th maths notes|| TS 6 th class Maths Concept

TS 10th class maths concept (E/M)

Ts Inter Maths IA Concept

TS 10th Class Maths Concept (T/M)

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

chapter 1 Functions Exercise 1a Solutions

By [email protected] Reddy / August 10, 2022 / Education

Functions Exercise 1a Solutions

Functions Exercise 1a

The famous mathematician ” Lejeune Dirichlet” defined a function.

Chapter 1 Functions Exercise 1a Solutions for inter first year students, prepared by Mathematics expert of www.basicsinmaths.com

Exercise 1a

I.

1. If the function f is defined by

Functions 1(a) images 1

then find the values of (i) f (3) (ii) f (0) (iii) f (– 1.5) (iv) f (2) + f (– 2) (v) f (– 5 )

Sol:

Given Functions 1(a) images 1

Domain of f(x) is (– 3, ∞)

(i) f (3)

3 lies in the interval x > 1

⟹ f(x) = x + 2

f(3) = 3 + 2 = 5

∴ f (3) = 5

(ii) f (0)

0 lies in interval – 1 ≤ x ≤ 1

⟹f(x) = 2

∴ f (0) = 2

(iii) f (– 1.5)

– 1.5 lies in interval – 3 < x < – 1

⟹f(x) = x – 1

f (– 1.5) = – 1.5 – 1 = – 2.5

∴ f (– 1.5) = – 2.5

(iv) f (2) + f (– 2)

2 lies in the interval x > 1

⟹ f (x) = x + 2

f (3) = 2 + 2 = 4

f (2) = 4

– 2 lies in interval – 3 < x < – 1

⟹f(x) = x – 1

f (– 2) = – 2 – 1 = – 3

now f (2) + f (– 2) = 4 – 3 = 1

∴ f (2) + f (– 2) = 1

(v) f (– 5)

since domain of f(x) is (– 3, ∞)

f (– 5) is not defined

2. If f: R – {0} ⟶ R is defined by f(x) = , then show that f (x) + f (1/x) = 0

Sol:

Given f: R – {0} ⟶ R is defined by f(x) = Functions 1(a) images 2

f (1/x) = Functions 1(a) images 3

Now

f (x) + f (1/x) = Functions 1(a) images 4

∴ f (x) + f (1/x) = 0

3. If f: R ⟶ R is defined by f(x) = , then show that f (tan θ) = cos 2θ

Sol:

Given f: R ⟶ R is defined by f(x) = Functions 1(a) images 5

f (tan θ) = Functions 1(a) images 6

= cos 2θ Functions 1(a) images 7

4. If f: R – {±1} ⟶ R is defined by f(x) = , then show that f = 2 f (x)

Sol:

Given f: R – {±1} ⟶ R is defined by f(x) =

Functions 1(a) images 10

5. If A = {– 2, – 1, 0, 1, 2} and f: A ⟶ B is a surjection (onto function) defined by f(x) = x² + x + 1, then find B

Sol:

Given A = {– 2, – 1, 0, 1, 2} and f: A ⟶ B is a surjection defined by f(x) = x² + x + 1

f(– 2) = (–2)² + (–2) + 1

= 4 – 2 + 1 = 3

f(– 1) = (–1)² + (–1) + 1

= 1 – 1 + 1 = 1

f(0) = (0)² + (0) + 1

= 0 + 0 + 1 = 1

f(1) = (1)² + (1) + 1

=1 +1 + 1 = 3

f( 2) = (2)² + (2) + 1

= 4 + 2 + 1 = 4

∴ B = {1, 3, 7}

TS 10th class maths concept (E/M)

Functions Exercise 1a

6. If A = {1, 2, 3,4} and f: A ⟶ B is a surjection defined by f(x) = , then find range of f.

Sol:

Given A = {1, 2, 3,4} and f: A ⟶ B is a surjection defined by f(x) = Functions 1(a) images 11

Functions 1(a) images 12

7. If f (x + y) = f (xy) ∀ x, y ∈ R, then prove that f is a constant function

Sol:

Given f (x + y) = f (xy) ∀ x, y ∈ R

Let x = 0 and y = 0

f (0 + 0) = f (0 × 0) = f (0)

f (1) = f (0 + 1)

= f (0 × 1)

= f (0)

f (2) = f (1 + 1)

= f (1 × 1)

= f (1)

= f (0)

f (3) = f (1 + 2)

= f (1 × 2)

= f (2)

= f(0)

Similarly, f(4) = 0

f(5) = 0

and so on.

∴ f is a constant function

PDF Files || Inter Maths 1A &1B || (New)

6th maths notes|| TS 6 th class Maths Concept

II.

1. If A = {x/ – 1 ≤ x ≤ 1}, f(x) = x², g(x) = x³, which of the following are surjections?

(i) f: A ⟶ A (ii) g: A ⟶ A

Sol:

(i) Given A = {x/ – 1 ≤ x ≤ 1}, f(x) = x²

A = {– 1, 0, 1}; f: A ⟶ A

f (x) = x²

f (– 1) = (– 1)² = 1

f (0) = (0)² = 0

f (1) = (1)² = 1

∵ range is not equal to co domain of f

f is nor a surjection

(ii) A = {x/ – 1 ≤ x ≤ 1}, g (x) = x³

A = {– 1, 0, 1}; g: A ⟶ A

g (x) = x³

g (– 1) = (– 1)³ = – 1

g (0) = (0)³ = 0

g (1) = (1)³ = 1

∵ range is equal to co domain of f

f is a surjection

2. Which if the following are injection, surjection or bijection? Justify your answer

(i) f: R ⟶ R defined by f(x) =

let x₁, x₂ ∈ R

f(x₁) = f(x₂)

Functions 1(a) images 14

2x₁ + 1 = 2x₂ + 1

2x₁ = 2x₂

x₁ = x₂

x₁, x₂ ∈ R, f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂

∴ f is an injection

Let y = f(x)

y =

3y = 2x + 1

3y – 1 = 2x

⟹ x = ∈ R

Now

Functions 1(a) images 17

∴ f is surjection

f is injection and surjection

∴ f is a bijection

(ii) f: R ⟶ (0, ∞) defined by f(x) = 2^x

let x₁, x₂ ∈ R

f(x₁) = f(x₂)

x₁ = x₂

x₁, x₂ ∈ R, f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂

∴ f is an injection

Let y = f(x)

y = 2^x

x = ∈ (0, ∞)

Now f(x) = 2^x

= y

∴ f is surjection

f is injection and surjection

∴ f is a bijection

(iii) f: (0, ∞) ⟶ R defined by f(x) =

let x₁, x₂ ∈ (0, ∞)

f(x₁) = f(x₂)

x₁ = x₂

x₁, x₂ ∈ (0, ∞), f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂

∴ f is an injection

Let y = f(x)

y =

x = e^y ∈ (0, ∞)

Now f(x) =

= y

∴ f is surjection

f is injection and surjection

∴ f is a bijection

(iv) f: [0, ∞) ⟶ [0, ∞) defined by f(x) = x²

let x₁, x₂ ∈ [0, ∞)

f(x₁) = f(x₂)

x₁ = x₂ [∵ x₁, x₂ ∈ [0, ∞)]

x₁, x₂ ∈ [0, ∞), f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂

∴ f is an injection

Let y = f(x)

y = x²

x = ∈ [0, ∞)

Now f(x) = x²

= y

∴ f is surjection

f is injection and surjection

∴ f is a bijection

(v) f: R ⟶ [0, ∞) defined by f(x) = x²

let x₁, x₂ ∈ R

f(x₁) = f(x₂)

x₁ = ± x₂ [∵ x₁, x₂ ∈ R]

x₁, x₂ ∈ [0, ∞), f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ ≠ x₂

∴ f is not an injection

Let y = f(x)

y = x²

x = ∈ R

Now f(x) = x²

= y

∴ f is surjection

f is not an injection but surjection

∴ f is not a bijection

(vi) f: R ⟶ R defined by f(x) = x²

let x₁, x₂ ∈ R

f(x₁) = f(x₂)

x₁ = ± x₂ [∵ x₁, x₂ ∈ R]

x₁, x₂ ∈ [0, ∞), f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ ≠ x₂

∴ f is not an injection

f (1) = 1² = 1

f (– 1) = (–1)² = 1

here ‘– 1’ has no pre image

∴ f is not a surjection

f is not an injection and not surjection

∴ f is not a bijection

Ts Inter Maths IA Concept

hai

3. Is g = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)} is a function from A = {1, 2, 3, 4} to B = {1, 3, 5, 7}? If this is given by the formula g(x) = ax + b, then find a and b

Sol:

Given A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} and g = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}

g (1) = 1; g(2) = 3; g(3) = 5 ; g(4) = 7

here, every element of set A has a unique image in set B

∴ g: A ⟶ B is a function

And also given g(x) = ax + b

g (1) = 1

⟹ a (1) + b = 1

a + b = 1

b = 1 – a _______________ (1)

g (2) = 3

a (2) + b = 3

2a + b = 3

2a + 1 – a = 3 (from (1))

a+ 1 = 3

a = 2

b = 1 – 2

b = – 1

∴ a = 2, b = – 1

4. If the function f: R ⟶ R defined by f(x) = , then show that f (x + y) + f (x – y) = 2 f (x) f (y).

Sol:

Given the function f: R ⟶ R defined by f(x) = Functions 1(a) images 29

Functions 1(a) images 30

= 2 f (x) f (y)

5. If the function f: R ⟶ R defined by f(x) = Functions 1(a) images 31 , then show that f (1 – x) = 1 – f (x)

and hence reduce the value of Functions 1(a) images 32

Sol:

Given the function f: R ⟶ R defined by f(x) = Functions 1(a) images 31

Functions 1(a) images 33

∴ f (1 – x) = 1 – f(x)

TS 10th Class Maths Concept (T/M)

TS 10th class maths concept (E/M)

6. If the function f: {– 1, 1} ⟶ {0, 2}, defined by f(x) = ax + b is a surjection, then find a and b

Sol:

Given the function f: {– 1, 1} ⟶ {0, 2}, defined by f(x) = ax + b is a surjection

Case(i)

If f(– 1) = 0 and f(1) = 2

a (– 1) + b = 0

– a + b = 0

b = a ————(1)

and

a (1) + b = 2

a + b = 2

a + a = 2 [ from (1)]

2a = 2

a = 1

b = 1

Case (ii)

If f(– 1) = 2 and f(1) = 0

a (– 1) + b = 2

– a + b =

b = 2 + a ————(2)

and

a (1) + b = 0

a + b = 0

a + 2 + a = 0 [ from (2)]

2a + 2 = 0

2a = – 2

a = – 1

b = 1

From Case(i) and Case (ii) a = ±1 and b = 1

7. If f(x) = cos (log x), then show that = 0

Sol

Given f(x) = cos (log x)

Functions 1(a) images 37

Functions 1(a) images 38

=

cos (log x) cos (log y) – [cos (log x) cos (log y) – sin (log x) sin (log x)

+ cos (log x) cos (log y) + sin (log x) sin (log x)]

= cos (log x) cos (log y) – [2cos (log x) cos (log y)]

= cos (log x) cos (log y) – cos (log x) cos (log y)

∴ Functions 1(a) images 36 = 0

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

Maths polycet solved previous qp 2020- || Solved Papers

By [email protected] Reddy / June 14, 2022 / Education

polycet solved previous qp 2020 TS Polycet || Solved Previous Question Papers 2020 Math

polycet solved previous qp 2020

The State Board of Technical Education and Training (SBTET), Telangana, Hyderabad will conduct “Polytechnic Common Entrance Test (POLYCET)” for the candidates seeking admission in to all Diploma Courses in Engineering /Non Engineering Technology.

The Main Subjects in this Exam are Maths, Physics, Chemistry and Biology. Here we are providing Previous Maths Papers Questions and Solutions.

The syllabus of Maths, Physics, Chemistry and Biology for POLYCET-2022 is the same as that of SSC Examination conducted by the Board of Secondary Education, Telangana.

TS Polycet || Solved Previous Question Papers 2021 Mathematics gives an idea becuase, it is very helpful to solve the problems in POLYCET entence examination

TS VI – IX Maths Concepts

polycet solved previous qp 2020

Chapter 1: Real Numbers

1.If 7 divides a² then

a² ను 7 భాగించినచో

(1) 7 divides a (a ను 7 భాగిస్తుంది)

(2) 7 divides ( ను 7 భాగిస్తుంది)

(3) a divide 7 (7 ను a భాగిస్తుంది)

(4) none (ఏదీ కాదు)

Answer: (1)

2. In the formula , which of the following is true?

అయిన, ఈ క్రింది వాటిలో ఏది సత్యము.

(1) x > 0, y > 0, a = 1

(2) x < 0, y < 0, a = 1

(3) a > 0, y > 0, x = 1

(4) x > 0, y > 0, a ≠ 1

Answer: (4)

Solution

3. 5 =____________

Answer: (3)

Solution

4. then x =

అయిన, x =

(1) n (2) 1

(3) 5 (4) 2

Answer: (4)

Solution

5. , ac = ___

అయిన, ac = ___

(1)a² (2)b²

(3) c² (4) None(ఏది కాదు)

Answer: (2)

Solution

TS 10th class maths concept (E/M)

TS 6th Class Maths Concept

TS 10th Class Maths Concept (T/M)

AS Tutorial In Telugu - QR code

Chapter 2: Sets

1.Cardinal number of set A = {P, O, L, Y, T, E, C, H, N, I, Q} , B = {P, O, L, Y, C, E, T, 2020}, then B – A =

A = {P, O, L, Y, T, E, C, H, N, I, Q} , B = {P, O, L, Y, C, E, T, 2020}, అయిన B – A =

(1) {20}

(2) {2020}

(3) {40}

(4) none (ఏది కాదు)

Answer: (2)

Solution

2. If A = {a} and B = {a, b} , C = {a, b, c}, then A ∩ B ∩ C =

A = {a} and B = {a, b} , C = {a, b, c}, అయిన A ∩ B ∩ C =

(1) {a} (2) {b}

(3) {c} (4) {2021}

Answer: (1)

Solution

Ts Inter Maths IA Concept

TS 10th class maths concept (E/M)

TS 6th Class Maths Concept

AS Tutorial In Telugu - QR code

Chapter 3: Polynomials

1. Product of the polynomials (x³ – 8), (x – 8) is denoted by p(x) = ax⁴ + bx³ + c x² + dx +e, then p (8) =

(x³ – 8), (x – 8) అను బహుపదుల లబ్దము p(x) = ax⁴ + bx³ + c x² + dx +e అయిన, p (8) =

(1) 0 (2) 1

(3) 2 (4) 3

Answer: (1)

Solution

2. If α, β are the zeroes of x² – 1 , α + β =

α, β లు x² – 1అనే వర్గ బహుపదికి శూన్యాలు అయితే α + β విలువ?

(1) 0 (2) 1

(3) – 1 (4) 2

Answer: (1)

Solution

AS Tutorial In Telugu - QR code

Chapter 4: Linear equations in Two Variables

1.For the equation 2019x + 2020y = 4040, when x= 0 the value of y =

2019x + 2020y = 4040 అను సమీకరణమునకు x= 0 అయిన, y విలువ

(1) 2020 (2) 2019

(3) 4 (4) 2

Answer: (4)

Solution

2. Solution of the equations 7x + 5y = 12 and 5x – 7y = – 2, not equal to

7x + 5y = 12 మరియు 5x – 7y = – 2 సమీకరణాల సాధన ఈ క్రిది వానీలో దేనికి సమాన కాదు

Answer: (1)

Solution

3. If TS POLYCET 2020 - Linear equations in 2 variables 2 then (x, y) =

TS POLYCET 2020 - Linear equations in 2 variables 3 అయిన,(x, y) =

(1) (2019, 2020) (2) (2020, 2019)

(3) (2019, 2019) (4) (2020, 2020)

Answer: (1)

Solution

4. If (5, 2) is the solution 2x + 3y = 20, ax – by = 0, the (a, b) =

2x + 3y = 20, ax – by = 0 ల సాధన (5, 2) అయిన (a, b) =

(1) (2, 5) (2) (5, 2)

(3) (– 2, 5) (4) (– 5, 2)

Answer: (1)

Solution

5. If the system of equations x – y = 1 and ax + y = 2 has unique solution then

జత సమీకరణాలకు x – y = 1, ax + y = 2 లకు ఏకైక సాధన ఉంటే

(1) a = 1 (2) a = – 1

(3) a ≠ 1 (4) a ≠– 1

Answer: (4)

Solution

6. x + y = , x – y = 0, then x =

x + y = , x – y = 0, అయిన x =

Answer: (3)

Solution

TS 6th Class Maths Concept

TS 10th class maths concept (E/M)

Ts Inter Maths IA Concept

AS Tutorial In Telugu - QR code

Chapter 5: Quadratic Equations

1.If the roots of 2x² + kx + 3 = 0 are real and equal, then k =

2x² + kx + 3 = 0 యొక్క మూలాలు వాస్తవాలు మరియు సమానాలు అయిన k విలువ =

(1)± 6 (2) ± 4

(2)± 2 (4) ± 5

Answer: (3)

Solution

2. 8x² – 6x – 9 = 0= ______

(1)(2x – 3) (x – 3) (2) (2x – 3) (x +1)

(3) (2x + 1) (x – 1) (4) (2x – 3) (4x + 3)

Answer: (4)

Solution

4. Roots of 5x² – 8x = 4 are

5x² – 8x = 4 యొక్క మూలాలు

(1) 2, TS POLYCET 2020 - Quadratic Equations 9 (2) 1,

(3) 2, (4) 2, 7

Answer: (1)

Solution

TS 6th Class Maths Concept

TS 10th class maths concept (E/M)

AS Tutorial In Telugu - QR code

Chapter 6: Progressions

1. 1, -1/2, 1/4…. Are in G.P, then find 8^th term

1, -1/2, 1/4…. అనే గుణ శ్రేడిలోని ఎనిమిదవ పదం

(1) 1/128 (2) 1/64

(3) – 1/128 (4) –1/64

Answer: (3)

Solution

2. 4, 7, 10… are in AP, the sum 15 terms is____

4, 7, 10… A.P లో ఉన్నచో 15 పదాల మొత్తం ____

(1) 385 (2) 475

(3) 375 (4) 325

Answer: (3)

Solution

3. 10^th term of AP: 13, 8, 3, – 2, …. is

13, 8, 3, – 2, …. అను అంకశ్రేడిలోని 10 వ పదం

(1) – 32 (2) – 23

(3) 30 (4) – 30

Answer: (1)

Solution

4. Which term of GP: is 729?

అనే గుణ శ్రేడిలో 729 ఎన్నవ పదం?

(1) 10 (2) 12

(3) 14 (4) 16

Answer: (2)

Solution

AS Tutorial In Telugu - QR code

Chapter 7: Coordinater Geometry

1.If the slope of the line through (2, – 7) and (x, 5) is 3 then x =_________

(2, – 7), (x, 5) ల గుండా పోవు రేఖ వాలు 3 అయిన x యొక్క విలువ _____

(1) 4 (2) 5

(3) 6 (4) 7

Answer: (3)

Solution

2. If (8, 1), (k, – 4), (2, – 5) are collinear, then k = ______

(8, 1), (k, – 4), (2, – 5) లు సరేఖీయాలైన k యొక్క విలువ ______

(1) 4 (2) 3

(3) 2 (4) 1

Answer: (2)

Solution

3. The point (2, – 3) divides the line segment joining the points (– 1, 3), (4, – 7) in the ratio__

(– 1, 3), (4, – 7) బిందువులతో ఏర్పడు రేఖా ఖండాన్ని (2, – 3) బిందువు విభజించు నిష్పత్తి___

(1) 3: 2 (2) 2 : 3

(3) 8 : 1 (4) 1 : 4

Answer: (1)

Solution

4. The centroid of the triangle whose vertices are (3, – 5), (–7, 4), (10, –2) is

(3, – 5), (–7, 4), (10, –2) లు శీర్శాలుగా గల త్రిభుజం యొక్క గురుత్వ కేంద్రం____

(1) (1, 1) (2) (1, – 2)

(3) (–2, 1) (4) (2, –1)

Answer: (4)

Solution

AS Tutorial In Telugu - QR code

ts polycet 2021 | Solved Previous Question Papers 2021 Maths

By [email protected] Reddy / June 7, 2022 / Education

ts polycet 2021

ts polycet 2021 || Solved Previous Question Papers 2021 Maths

The Main Subjects in this Exam are Mathematics, Physics, Chemistry and Biology. Here we are providing Previous Maths Papers Questions and Solutions.

The syllabus of Mathematics, Physics, Chemistry and Biology for POLYCET-2022 is the same as that of SSC Examination conducted by the Board of Secondary Education, Telangaana.

ts polycet 2021

TS Polycet || Solved Previous Question Papers 2021 Maths gives an idea to solve the problems in POLYCET entence examination

ts polycet 2021

Chapter 1: Real Numbers

1. The value of is

యొక్క విలువ ఎంత ?

TS POLYCET 2021 - Real Numbers 1

Answer: (2)

Solution

2.The HCF of 8, 9 and 25 is

8, 9 మరియు 25 గ. సా. కా ఎంత?

(1) 3 (2) 0 (3) 2 (4) 1

Answer: (4)

Solution

3. is ____________

అనునది____________

(1) Natural numbers (సహజ సంఖ్య)

(2) Irrational number (కరణీయ సంఖ్య)

(3) Rational Number (అకరణీయ సంఖ్య)

(4) An Integer (పూర్ణ సంఖ్య)

Answer: (2)

4. If 2^x = 8² then x =?

2^x = 8² అయిన x =?

(1) 4 (2) 2 (3) 6 (4) 8

Answer: (3)

Solution

5. The value of is

యొక్క విలువ

(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4

Answer: (2)

Solution

<< Page 1 of 14 >>

Pages: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

[email protected] Reddy

TS Inter Betterment/ Supplementary Question Papers 2023, TS 1st Year Model Papers 2024

Here are some key points about TS BIE:

Syllabus:

Results:

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

Functions:

Syllabus:

Examinations:

TS Inter Supplementary

Results:

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

Rolles and Langranges Theorem vsaq’s

Rolle’s theorem

Langrage’s theorem

1. State Rolle’s theorem

2. State Langrage’s theorem

3. If f(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3), prove that there is more than ‘c’

in (1, 3) such that f’ (c) = 0

4. Find all the value s of ‘c’ in Rolle’s theorem for the function

y = f(x) = x2 + 4 on [– 3, 3]

5. Find the value of ‘c’ from Rolle’s theorem for the function f(x) = x2 – 1 on [– 1, 1]

7. Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = sin x – sin 2x on [0, π]

8. Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = (x2 – 1) (x – 2) on [ – 1, 2]

10. Show that there is no real number ‘k’ for which the equation x2 – 3x + k has two distinct roots in [0, 1].

11. Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = log (x2 + 2) – log 3 on [ – 1, 1]

12. Find ‘c’ so that f’ (c) = ; f(x) = x2 – 3x – 1 , a = , b =

13. Find ‘c’ so that f’ (c) = ; f(x) = ex, a =0, b = 1

14. Verify Lagrange’s Mean value theorem for the function f(x) = x2 – 1 on [2, 3]

15. Verify the Lagrange’s Mean value theorem for the function f(x) = sin x – sin 2x on [0, π]

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు

1.ఆర్యభట్ట (జననం 476 CE)

2.బ్రహ్మగుప్త (జననం 598)

3.భాస్కర II (జననం 1114 CE)

4. సంగమగ్రామానికి చెందిన మాధవ (జననం 1350 CE)

5.నీలకంఠ సోమయాజి (జననం 1444 CE)

6. శ్రీనివాస రామానుజన్ (జననం 1887 CE)

7. సుబ్రహ్మణ్యన్ చంద్రశేఖర్ (జననం 1910 CE)

8.డి.ఆర్. కప్రేకర్ (జననం 1905 CE)

9.C.R. రావు (జననం 1920 CE)

10.వశిష్ఠ నారాయణ్ సింగ్ (జననం 1942 CE)

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

Mathematical Indunction (M.I) Exerxise wise Solutions

Exercise 2(a)

Using Mathematical Indunction, Prove each of the following statement for all n ∈ N.

1. 12 + 22 + 32 + …… + n2=

2. 2.3 + 3.4 + 4.5 + ……… up to n terms =

3 .

4. 43 + 83 + 123 + … up to n terms = 16 n2 (n + 1)2

5. a + (a + d) + (a + 2d) + …. up to n terms =

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

Functions Exercise 1c Solutions

Functions Exercise 1c

I.

1.Find the domains of the following real valued functions

(ii)

2. find the ranges of the following real valued functions

3. If f and g are real valued functions f(x) = 2x – 1 ang g (x) = x2 then

find

4. If f = {(1, 2), (2, – 3) (3, – 1)} then find (i) 2f (ii) (fog) 2 + f iii) f2 (iv)

II.

1.Find the domain of the following real valued functions

2. Prove that the real valued function is an even function

3. Find the domain and range of the following functions

Visit my Youtube Channel: Click on Below Logo

Functions Exercise 1b Solutions

Functions Exercise 1b

I.

1.If f (x) = ex and g(x) = , then show that f og = gof and f-1 = g-1

2. If f (y) = , g (y) = then show that fog(y) = y

3. If f: R ⟶ R, g: R ⟶ R is defined by f(x) = 2x2 + 3 ang g (x) = 3x – 2 then find

(i) (fog) (x) (ii) (gof) (x) (iii) (fof) (0) (iv) go(fof)(3)

4. If f: R ⟶ R; g: R ⟶ R is defined by f(x) = 3x – 1, g (x) = x2 + 1, then find

(i) (fof) (x2 + 1) (ii) (fog) (2) (iii) (gof) (2a – 3)

5. If f(x) = and g(x) = for all x ∈ (0, ∞) then find (gof) (x)

6. If f(x) = 2x – 1 and g(x) = for all x ∈ R then find (gof) (x)

7. If f (x) = 2, g (x) = x2 and h(x) = 2x ∀ x ∈ R, then find (fo(goh)) (x)

8. Find the inverse of the following functions

9. If f(x) = 1 + x + x2 + … for , then show that f-1 (x) =

y = f(x) = x² + 4 on [– 3, 3]

5. Find the value of ‘c’ from Rolle’s theorem for the function f(x) = x² – 1 on [– 1, 1]

8. Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = (x² – 1) (x – 2) on [ – 1, 2]

10. Show that there is no real number ‘k’ for which the equation x² – 3x + k has two distinct roots in [0, 1].

11. Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = log (x² + 2) – log 3 on [ – 1, 1]

12. Find ‘c’ so that f’ (c) = ; f(x) = x² – 3x – 1 , a = , b =

13. Find ‘c’ so that f’ (c) = ; f(x) = e^x, a =0, b = 1

14. Verify Lagrange’s Mean value theorem for the function f(x) = x² – 1 on [2, 3]

1. 1² + 2² + 3² + …… + n²=

4. 4³ + 8³ + 12³ + … up to n terms = 16 n² (n + 1)²

3. If f and g are real valued functions f(x) = 2x – 1 ang g (x) = x² then

4. If f = {(1, 2), (2, – 3) (3, – 1)} then find (i) 2f (ii) (fog) 2 + f iii) f² (iv)

1.If f (x) = e^x and g(x) = , then show that f og = gof and f^-1 = g^-1

3. If f: R ⟶ R, g: R ⟶ R is defined by f(x) = 2x² + 3 ang g (x) = 3x – 2 then find

4. If f: R ⟶ R; g: R ⟶ R is defined by f(x) = 3x – 1, g (x) = x² + 1, then find

(i) (fof) (x² + 1) (ii) (fog) (2) (iii) (gof) (2a – 3)

7. If f (x) = 2, g (x) = x² and h(x) = 2x ∀ x ∈ R, then find (fo(goh)) (x)

9. If f(x) = 1 + x + x² + … for , then show that f^-1 (x) =

10 . If f: [1, ∞) ⟶ [1, ∞) defined by f (x) = 2^{x (x – 1}⁾ then find f^-1 (x)

1. If f (x) = , x ≠ ± 1, then verify (fof^-1) (x) = x

2. If A = {1, 2, 3}, B = {α, β, γ}, C = {p, q, r} and f: A ⟶ B; g: B ⟶ C is defined by f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}, g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}, then show that f and g are bijective functions and (gof)^-1 = f^-1og^-1

3. If f: R ⟶ R; g: R ⟶ R is defined by f (x) = 3x – 2 and g(x) = x² + 1 then find

(i) (gof^-1) (2) (ii) (gof) (x – 1)

4. Let f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)} and g^-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)}, then show that (gof)^-1 = f^-1og^-1

5. If f: R ⟶ R; g: R ⟶ R is defined by f (x) = 2x – 3 and g(x) = x³ + 5 then find (fog)^-1 (x)

6. Let f(x) = x², g(x) = 2^x then solve the equation (fog) (x) = (gof) (x)

5. If A = {– 2, – 1, 0, 1, 2} and f: A ⟶ B is a surjection (onto function) defined by f(x) = x² + x + 1, then find B

1. If A = {x/ – 1 ≤ x ≤ 1}, f(x) = x², g(x) = x³, which of the following are surjections?

(i) Given A = {x/ – 1 ≤ x ≤ 1}, f(x) = x²

(ii) A = {x/ – 1 ≤ x ≤ 1}, g (x) = x³

(ii) f: R ⟶ (0, ∞) defined by f(x) = 2^x

(iv) f: [0, ∞) ⟶ [0, ∞) defined by f(x) = x²

(v) f: R ⟶ [0, ∞) defined by f(x) = x²

(vi) f: R ⟶ R defined by f(x) = x²