మన మనస్సు లోని భావాలను , అనుభూతులను పైకి చెప్పడానికి  మాతృభాష ఎంతో ఉపయోగం , అందుకే మాతృ భాష తల్లి లాంటిది అంటారు. మనం మన మాతృ భాషని గౌరవించాలి .

గ్రహణ సామర్థ్యం పెరగడానికి మాతృ భాష  లో విద్యా బోధన ఎంతగానో ఉపయోగ పడుతుంది.  మాతృ భాష లో బోధించడం వలన విద్యార్థుల్లో సృజనాత్మకత పెరుగుతుంది.

---

భాషా భాగాలు :

భాషకు ప్రాణం భావ ప్రసరణ . ఈ భావ ప్రసరణ ఒకరి నుండి మరొకరికి చేరాలి . ఇలా చేరడానికి కొన్ని పదాలు వాక్యాలు అవసరం. ఇలా వాక్యం లోని ఉపయోగాన్ని బట్టి భాషకు ఐదు ప్రధాన భాగాలుగా విభజించారు.

అవి :− 1. నామవాచకం   2. సర్వనామం  3. విశేషణం  4. క్రియ  5. అవ్యయము

1. నామవాచకం : నామము అనగా పేరు.ఒక వ్యక్తిని గాని, వస్తువుని గాని ,గుణమును గాని, జాతిని గాని తెలుపును.

ఉదా :- ధర్మరాజు , హైదరాబాద్ , బంతిపువ్వు , ఆవు మొ|| నవి .

2. సర్వనామము : నామ వాచకాలకు బదులుగా వాడే వాటిని “ సర్వనామాలు “ అంటారు. “సర్వ” అనగా సమస్తము.

ఉదా :- అది, ఇది, అతడు , ఆమె ,అన్ని ,కొన్ని మొ|| నవి.

3.  విశేషణం  : నామవాచకము మరియు సర్వనామముల యొక్క గుణమును తెలియజేయునది .

ఉదా :- మంచి , చెడు , లావు , పొట్టి , పొడుగు  , ఎత్తు  మొ|| నవి.

4. క్రియ : పనులను, స్తితిగతులను తెలియజేయునది .

ఉదా :- రాస్తున్నాడు , వెళ్తున్నాడు , పాడుతున్నాడు  మొ|| నవి.

5. అవ్యయము : వ్యయము అనగా నశించేది, అవయము అనగా నశించనిది .

• లింగ, వచన, విభక్తుల ప్రసక్తిగాని, వచన ఆకాంక్ష లేని వాటిని అవ్యయములు అంటారు .

ఉదా :-  అక్కడ, ఇక్కడ, ఆహా , భళా  మొ|| నవి.

సంధులు 

• వ్యాకరణ భాషలో రెండు  స్వరాల కలయికను  సంధి  అంటారు .
• రెండు అచ్చుల మధ్య  జరిగే మార్పును  సంధి కార్యం  అంటారు.
• సంధి జరిగే మొదటి పదo చివరి అక్షరం లోని అచ్చును ‘పూర్వ పదం’ అంటారు .
• సంధి జరిగే రెండవ పదం మొదటి అక్షరం లోని అచ్చును ‘పర పదం ‘ అంటారు .

ఉదా :- రామ + అయ్యా:  ‘ రామ’  లోని     ‘మ’  లో  ‘అ’ పూర్వ పదం  ‘అయ్యా’  లోని  ‘అ ‘ పర పదం .

1. అత్వ సంధి(అకార సంధి );  అత్తునకు సంధి  బహుళంగా వస్తుంది .

ఉదా :-1) మేఅల్లుడు = మేన + అల్లుడు                     3) లేకేమి  = లేక + ఏమి

2) రాకుంటే  = రాక + ఉంటే                          4) పోవుటెట్లు =  పోవుట  + ఎట్లు

2. ఇత్వ సంధి ( ఇకార సంధి): ఏమ్యాదులకు ఇత్తునకు సంధి .

ఉదా :- 1) ఏమంటివి = ఏమి + అంటివి                       3) పైకెత్తినారు  = పైకి + ఎత్తినారు

2) వచ్చిరిపుడు  = వచ్చిరి + ఇపుడు                4) మనిషన్నవాడు  = మనిషి + అన్నవాడు

3. ఉత్వ సంధి ( ఉకార సంధి ): ఉత్తునకు అచ్చు పరమైనపుడు సంధి నిత్యంగా వస్తుంది .

ఉదా :- 1) రాముడతడు = రాముడు + అతడు            3) మనమున్నాము = మనము + ఉన్నాము

 2) అతడెక్కడ = అతడు + ఎక్కడ                    

  4) మనసైన = మనసు + ఐన 

4. యదగామ సంధి : అంది లేని చోట అచ్చుల మద్య ‘య్’ వచ్చి  చేరడాన్ని “యడాగమం” అంటారు .

ఉదా :- 1) మాయమ్మ = మా + అమ్మ                             3) హరియతడు = హరి + అతడు

2) మాయిల్లు = మా + ఇల్లు

5. ఆమ్రేడిత సంధి : అచ్చునకు ఆమ్రేడితం పరమైతే సంధి తరచుగా వస్తుంది .

ఉదా :- 1)  ఆహాహా = ఆహా + ఆహా                                  3)  ఔరౌర = ఔర  + ఔర

2) అరెరే  = అరె + అరె                                           4)  ఏమిటేమిటి = ఏమిటి + ఏమిటి

6. గసడదవాదేశ సంధి : ప్రథమ మీది పరుషాలకు గ, స ,డ , ద ,వ   లు  బహుళంగా వస్తాయి .

ఉదా :-  1)  కొలువుసేసి = కొలువు + చేసి                   3) కూరగాయలు = కూర + కాయ

2) పాలువోయక = ఆలు + పోయక                4) తల్లిదండ్రులు  = తల్లి + తండ్రి

7. త్రిక సంధి : త్రికము మీది అసంయుక్త హల్లునకు దిత్వం బహుళంగా వస్తుంది .

ఆ , ఈ , ఏ  లు త్రికంఅనబడుతాయి

ద్విరుక్తమైన హల్లు పరమైనపుడు, అచ్చికమైన దీర్ఘానికి  హ్రస్వం వస్తుంది.

ఉదా :-  1)  ఇక్కాలము  = ఈ + కాలము                       3)  అక్కోమరుండు =  ఆ + కొమరుండు

2) ఎవ్వాడు = ఏ + వాడు                                    4) అచ్చోట = ఆ + చోట

8. రుగాగమ సంధి : పేదాది శబ్దాలకు  ‘ఆల‘ శబ్దo పరమైతే కర్మదారాయం లో రుగాగం వస్తుంది .

ఉదా :- 1) మనుమరాలు = మనుమా + ఆలు                3) ధీరురాలు  = దీరు + ఆలు

2) పేదరాలు = పేద + ఆలు                                     4)  బాలెంతరాలు = బాలెంత + ఆలు

5 ) ముద్దరాలు = ముద్ద +ఆలు                               6) జవరాలు = జావా + ఆలు

9 . సవర్నదీర్గ సంధి: అ, ఇ , ఉ,  ఋ లకు అవే అచ్చులు పరమైతే వాని దీర్గాలు ఎకాదేశంగా వస్తాయి .

ఉదా :-    1)  రామానుజుడు = రామ + అనుజుడు    2 )  రామాలయం = రామ + ఆలయం                                                                                3)  భానూఉదయం  = భాను + ఉదయం                  4)  కవీంద్రుడు = కవి + ఇంద్రుడు                  5 ) పితౄణం = పితృ +ఋణం        6) వదూపేతుడు  = వధు + ఉపేతుడు

10 . గుణసంధి :  ఇ , ఉ , ఋ  పరమైతే ఏ, ఓ , ఆర్  లు క్రమంగా ఎకాదేసంగా వస్తాయి .

ఉదా :-    1)  రాజేంద్రుడు  = రాజ  + ఇంద్రుడు          2 )  పరోపకారం  = పర  + ఉపకారం

3)  రాజర్షి   = రాజ  + ఋషి                                     4)   మహోన్నతి = మహా  + ఉన్నతి

11.యణాదేశ సంధి: ఇ , ఉ, ఋ లకు అసవర్ణ అచ్చులు పరమైతే య , వ ,ర  లు వస్తాయి .

ఉదా :-    1)  అత్యవసరం  = అతి  + అవసరం          2 )  ప్రత్యేకం  = ప్రతి  + ఏకం                       3)  అణ్వస్త్రం   = అణు  + అస్త్రం                                                4)  పిత్రార్జితం  = పితృ  + ఆర్జితం       5 ) పితౄణం = పితృ +ఋణం

12 . వృద్ధి సంధి :  అకారినికి ఏ , ఐ  లు పరమైతే ‘ఐ ‘ కారము , ఓ , ఔ లు పరమైతే  ‘ఔ’ కారము వస్తాయి.

ఉదా :-    1)  వసుధైక  = వసుధ   + ఏక           2 )  సమైక్యం   = సమ   + ఐక్యం

3)  వనౌసది    = వన   + ఔసది                                                  4)  పిత్రార్జితం  = పితృ  + ఆర్జితం

13 . అనునాసిక సంధి :  వర్గ ప్రతమాక్షరాలకు ‘న’ గాని , ‘మ’ గాని ప్రమైతే అనునాసికాలు.

 

ఉదా :-    1)  వాజ్మయం   = వాక్   + మయం           2 )  జగన్నాథుడు   = జగత్  + నాథుడు

3)  అణ్వస్త్రం   = అణు  + అస్త్రం               4)  పిత్రార్జితం  = పితృ  + ఆర్జితం       5 ) తన్మయం  = తత్  + మయం

 సమాసాలు 

• సమాసం : వేరు వేరు అర్థాలు కల రెండు పదాలు కలిసి , ఏకంగా ఏర్పడితే దాన్ని ‘సమాసం’ అంటారు .

1. దంద్వ సమాసం: రెండు కాని,  అంతకంటే ఎక్కువ కాని నామవాచకాల మద్య ఏర్పడే సమాసాన్ని ‘దంద్వ సమాసం ‘ అంటారు.

ఉదా : – 1) అన్నదమ్ములు  – అన్న, తమ్ముడు    2) తల్లిదడ్రులు – తల్లి, తండ్రి    3) మంచిచెడులు – మంచి, చెడు                                      4 ) కష్టసుఖాలు – కష్ట , సుఖము

2. ద్విగు సామాసం : సమాసంలో మొదటి పదంలో సంఖ్య గల సమాసాన్ని ‘ద్విగు’ సమాసం అంటారు.

ఉదా : – 1) నవరసాలు   – నవ సంఖ్య  గల రసాలు    2) రెండుజడలు  – రెండు సంఖ్య  గల జడలు     3) నాలుగు వేదాలు – సంఖ్య గల వేదాలు

   3. తత్పురుష సమాసం : విభక్తి ప్రత్యాలు విగ్రహ వాక్యంలో ఉపయోగించే సమాసాలు ‘ తత్పురుష  సమాసాలు .

విభక్తులు

• ఒక వాక్యం లోని వేరు వేరు పదాలకు అన్వయం కలిగించు పదాలను “ విభక్తులు” అంటారు

విభక్తులు	ప్రత్యయాలు
ప్రథమా విభక్తి	డు – ము – వు – లు
ద్వితీయ విభక్తి	నిన్ – నన్ – లన్ – కూర్చి – గురించి
తృతీయ విభక్తి	చేతన్ – చెన్ –  తోడన్ – తోన్
చతుర్థి విభక్తి	కొరకున్  – కై
పంచమ విభక్తి	వలనన్ – కంటెన్ – పట్టి
షష్ఠివిభక్తి	యొక్క – లోన్ – లోపలన్
సప్తమి విభక్తి	అందున్ – నన్
సంబోధన ప్రథమా  విభక్తి	ఓరి – ఓయి – ఓసి

సమాస పదం	విగ్రహ వాక్యం	సమాసం పేరు
మద్యాహ్నము	అన్నము యొక్క మద్య	ప్రథమా తత్పురుష
జటాధారి	జడలను ధరించినవాడు	ద్వితీయ  తత్పురుష
రాజ పూజితుడు	రాజు చే పూజితుడు	తృతీయ  తత్పురుష
వంట కట్టెలు	వంట కొరకు కట్టెలు	చతుర్థి  తత్పురుష
అగ్నిభయం	అగ్ని వల్ల భయం	పంచమ  తత్పురుష
భుజభలం	భుజాల యొక్క భలం	షష్ఠి తత్పురుష
పుర జనులు	పురమునందు  జనులు	సప్తమి తత్పురుష

విశేషణ పూర్వపద కర్మధారయ సమాసం : విశేషణం పూర్వపదంగా (మొదటి) ఉండే సమాసం .

ఉదా : – తెల్ల గుర్రం – తెల్లదైన  గుర్రం,  ఇస్టార్థములు – ఇష్టమైన అర్థములు

సంభావన  పూర్వపద కర్మధారయ సమాసం :  సమాసం లోని పూర్వపడం సంజ్ఞావాచాకంగా , ఉత్తరపదం జాతి వాచకంగా ఉంటుంది .

 

ఉదా :- కాశిక పట్టణం – కాశిక అను పేరు గల పట్టణం, తెలంగాణా రాష్ట్రము – తెలంగాణ అను పేరు గల రాష్ట్రం

నైతత్పురుష సమాసం :  వ్యతిరేఖ పదాన్ని ఇచ్చే పదం .

ఉదా :- అసత్యం – సత్యం కానిది , నిరాదారం – ఆదారం కానిది , అనుచితం – ఉచితం కానుది .

అలంకారాలు   

అలంకారం : చెప్పదలచిన విషయాన్ని అందంగా మలిచేది.

1. అంత్యాను ప్రాస అలంకారం:  ఒకే అక్షరం లేదా రెండు , మూడు అక్షరాలు వాక్యం చివర మాటి మాటికి వస్తే దాన్ని  అంత్యాను ప్రాస అలంకారం అంటారు .

ఉదా : – భాగవతమున భక్తి – భారతమున యుక్తి – రామ కథయే రక్తి  ఓ కూనలమ్మ .

2. వృత్యానుప్రాస అలంకారం: ఒకటి గాని అంతకంటే ఎక్కువ గాని హల్లులు పలుమార్లు వచ్చునట్లు చెబితే  వృత్యానుప్రాస అవితుంది.

ఉదా : – వీరు పొమ్మను వారు  వారు పోగబెట్టు వారు

కాకి కోకిల కాదు కదా

3. చేకానుప్రాస అలంకారం: అర్థ భేదం తో కూడిన హల్లుల జంట వెంట వెంటనే వస్తే చేక్కనుప్రాస అనబడుతుంది .

ఉదా : – అ నాథ నాథ  నంద నంద న నీకు వందనం

నీకు వంద వందనాలు.

4. లాటాను ప్రాస అలంకారం : అర్థంలో భేధం లేకపోయినా , తాత్పర్యంలో భేదం ఉండేటట్లు , ఒక పదం రెండు సార్లు ప్రయోగించబడితే లాతానుప్రాస అనబడుతుంది.

ఉదా : – కమలాక్షునకు అర్పించు కరములు కరములు

5. యమకం : అచ్చులలో హల్లులలో మార్పు లేనట్టి అక్షరాల సమూహం అర్థ భేదంతో మళ్ళీ  ప్రయోగిన్చినట్లయితే యమకం అనబడుతుంది.

ఉదా : –  పురము నందు నంతిపురము 

6. ముక్త పద గ్రస్తo : విడిచి పెట్టబడ్డ పద భాగాలను వ్యవదానం లేకుండా వెంటనే ప్రయోగించి చెబితే ముక్త ప్రదగ్రస్తం .

ఉదా :- సుదతీ సూదన మదనా

మదనా గ తురంగ పూర్ణ మణి మాయ సదనా

సదనా మయ గజ రాదనా .

7. ఉపమాలంకారం : ఉపమేయానికి ఉపమానం తో చక్కని పోలిక వర్ణించబడిన యెడల ఉపమాన అలంకారం అనబడుతుంది .

ఉదా : – 1) చేనేత కార్మికులు ఎలుకల్ల మాడి పోతున్నారు    2) నీ కీర్తి హంష  లాగ ఆకాశ గంగలో మునుగుతుంది

8. రూపకాలoకారం : ఉపమానానినికి , ఉపమేయానినికి భేదం లేనట్లు వర్ణించి చెబితే రూపకాలoకారం అంటారు.

ఉదా : – 1) సంసార సాగరాన్ని తరించడం మిక్కిలి కష్టం   2 ) మౌనికి తేనె పలుకులు అందరికి ఇష్టమే

9. ఉత్ప్రేక్ష అలంకారం : ఉపమానానినికి ఉన్న ధర్మాలు  ఉపమేయంలో ఉండడం చేత , ఉపమేయాన్ని  ఉపమానo గా ఊహించి చెబితే  ఉత్ప్రేక్ష  అలంకారం అంటారు.

ఉదా : –  1) ఆ మేడలు ఆకాశాన్ని  ముద్దడుతున్నాయా అన్నట్లు ఉన్నాయి    2) ఈ వెన్నెల పాలవెళ్లి యో  అన్నట్లుంది .

10. అతి శయోక్తి అలంకారం : ఒక వస్తువు గురించి కాని సందర్భాన్ని గురించి కాని ఉన్నదాని కంటే ఎక్కువ చేసి చెబితే అతి శయోక్తి అంటారు.

ఉదా : – మా నగరం లోని మేడలు ఆకాశాన్ని అంటుతున్నాయి

11. శ్లేషాలo కారం : అనేకమైన అర్థాలు కల శబ్దాలను ఉపయోగించి చెబితే శ్లేష అనబడుతుంది

ఉదా : – రాజు కువలయానంద  కరుడు

రాజు = ప్రభువు , చంద్రుడు       కువలయం = భూమి , కలువ పూలు

12. స్వభావోక్తి అలంకారం :  జాతి గుణం క్రియాదు లలో ఉన్నది ఉన్నట్లు చెప్పడం

ఉదా : – చెట్ల ఆకులు గాలికి కదులుతున్నాయి

ఛందస్సు

• పద్య లక్షణాన్ని తెలిపే శాస్త్రాన్ని ఛందస్ శాస్త్రం అంటారు .
• ఒక మాత్ర కాలం లో ఉచ్చరించబడేది లఘువు (I )
• రెండు మాత్రల  కాలం లో ఉచ్చరించబడేది  గురువు ( U  )

             య  గణం   IUU                                            జ  గణం    IUI

                                 మ  గణం  UUU                                           భ  గణం    UII

 త   గణం   UUI                                             న  గణం III

   ర   గణం    UIU                                              స  గణం  IIU

 

పద్యం పేరు	గణాలు	యతి స్తానం	అక్షరాల సంఖ్య
ఉత్పల మాల	భ, ర, న, భ, భ, ర, వ	10	20
చంపక మాల	న, జ, భ, జ, జ, జ, ర	11	21
శార్దూలం	మ, స, జ, స, త, త, గ	13	19
మత్తేభం	స, భ, ర, న, మ, య, వ	14	20

వాఖ్య నిర్మాణము – రకాలు 

వాక్యాలు మూడు రకాలు : 1 ) సామాన్య వాక్యము 2) సంశ్లిష్ట వాక్యము       3) సంయుక్త వాక్యము .

• సామాన్య వాక్యము :- క్రియ ఉన్నా  లేకున్నా ఒకే ఒక్క భావాన్ని ప్రకటించే వాక్యాలను సామాన్య వాక్యాలు అంటారు .

ఉదా : (i ) సీత బజారుకు వెళ్ళింది .    (ii) పాము కాటేసింది   (iii ) మురళి మంచి బాలుడు

• సంశ్లిష్ట వాక్యము:- ఒక సమాపక క్రియ , ఒకటి గాని అంతకన్నా ఎక్కువ గాని అసామాపక క్రియలు ఉంటే  ఆ వాక్యాన్ని    సంశ్లిష్ట వాక్యము అంటారు .

ఉదా :- (i )  రాము అన్నము తిని , పడుకున్నాడు         (ii )  సీత బజారుకు వెళ్లి , సరుకులు కొన్నది

• సంయుక్త వాక్యము:- సమ ప్రాధాన్యం కల వాక్యాలను కలపడం వల్ల ఏర్పడే వాక్యాo ను సంయుక్త వాక్యము అంటారు.

ఉదా :-  (i ) అతడు నటుడు, రచయిత    (ii ) రాము మరియు సిత హైదరాబాద్ వెళ్లారు    (iii ) సీత చదువుతుంది ,

కర్తరి – కర్మణి వాఖ్యాలు 

• కర్తరి వాక్యము :- ఒక వాక్యంలో కర్తకు ప్రాధాన్యం ఇచ్చి , కర్మకు ద్వితీయ విభక్తి (నిన్ , నున్ , లన్ , కూర్చి , గురించి ) చేరితే ఆ వాక్యాని కర్తరి వాక్యం అంటారు.
• కర్మణి వాక్యము :-  ఒక వాక్యంలో క్రియకు ధాతువు చేరి  , కర్మకు తృతీయ  విభక్తి  ( చేతస్ , చేన్ , తోన్ , తోడన్ ) చేరితే ఆ వాక్యాని కర్తరి వాక్యం అంటారు.

ఉదా :-

	కర్తరి వాక్యము	కర్మణి  వాక్యము
1	ప్రజలు శాంతిని కోరుతున్నారు	ప్రజలచే శాంతి కోరబడుతుంది
2	మేం పెద్దలను గౌరవిస్తాము	మాచే పెద్దలు గౌరవించ బడతారు
3	రాజు రైలును నడిపాడు	రైలు రాజు చే నడపబడింది
4	భీముడు కొండలను పిండి చేసాడు	కొండలు భీముని చే పిండి చేయబడెను
5	నా మీద రాళ్ళు విసురుతారు	నా మీద రాళ్ళు విసరబడతాయి

ప్రత్యక్ష – పరోక్ష కథనాలు 
ప్రతక్ష కథనం : ఒకరు చెప్పిన విషయాన్ని ఉన్నది ఉన్నట్లుగా చెప్పడం . ఒకరు చెప్పిన విషయం  “     “  చిహ్నాల మద్య ఉందును.

ఉదా:-   i )  “ నేను రస జీవిని “  అని చాసో అన్నాడు    (ii ) అంబేత్కర్  “  నేను ఎవరిని యాచిన్చను  “ అని అన్నాడు

• పరోక్ష కథనం :  ఒకరు చెప్పిన విషయాన్ని మన మాటల్లో చెప్పడం .    ఇందులో   “    “  చిహ్నాలు ఉండవు .

ఉదా:-  (i )  తాను రస  జీవినని చాసో అన్నాడు    (ii ) అబ్మేత్కర్ తాను ఎవరినీ  యాచిన్చనని  అన్నాడు

 

గమనిక : ప్రత్యక్ష కథనం  నుండి పరోక్షం లోకి మార్చునప్పుడు  జరుగు మార్పులు :

ప్రత్యక్షం	పరోక్షం
నేను	తాను
ఆయన	అతను, వాడు
అది	ఇది
నాకు	తనకు
నా	తన
నన్ను	తనను
మేము	తాము
మాకు	తమకు
ఇది	అది

 

 

This note is designed by the ‘Basics in Maths’ team. These notes to do help the  students for any Competitive Exam.

These notes cover all the topics covered in the any Competitive Exam syllabus and include plenty of formulae and concept to help you solve all the  Competitive examinations.

---

Number System

Number: A number is a mathematical object used to count and measure.1,2,3……. etc.

the ten thousand places in 5432 are greater than that in 4978.

Order of numbers

Ascending Order: arrange the numbers from smallest to the greatest; this order is called Ascending order.

Ex: – 23, 44, 65, 79, 100

Descending Order: arrange the numbers from greatest to the smallest, this order is called Ascending order.   Ex: – 100,79, 65, 33, 23

Formations of numbers

Form the largest and smallest possible numbers using the digits 3, 2, 4, 1 without repetition:

Largest number formed by arranging the given digits in descending order _ 4321.

Smallest number formed by arranging the given digits in ascending order _ 1234.

Greatest two-digit number is 99.

Greatest three-digit number is 999.

Greatest four-digit number is 9999.

Place value

Place value is the positional notation, which defines a digit’s position.

Ex: – 1234 ⟶   4 is one’s place, 3 is tens place, 2 is hundreds place and 1 is thousands place.

Face value

The face value of a digit in a numeral is its own value.

Ex: – 1234

Face value of r is 200

Face value of 3 is 30

Place value table for Indian system:

Indian system of numeration: – in Indian system of numeration we use ones, tens, hundreds, thousands, lakhs and crores. The first comma comes after three digits from the right, the second comma comes two digits latter and third comma comes after another two digits. 

Ex: – “three crores thirty-five lakh seventeen thousand four hundred thirty” can be written   as 3,35,17,430

International system of numeration: – In International system of numeration we use ones, tens, hundreds, thousands, millions and billions.

Ex: – “six hundred thirty-five million two hundred eighteen thousand nine hundred twenty-four” can be written as 635,218,924.

Types of Numbers:

Natural numbers: All the counting numbers starting from 1 are called Natural numbers.

1, 2, 3…

Whole numbers: Whole numbers are the collection of natural numbers.

0, 1, 2, 3 …

Note:  All natural numbers are whole number but all whole numbers need not to be natural numbers.

Integers: integers are the collection of whole numbers and negative numbers.

…., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3….

Rational numbers: The numbers which are written in the form of   , where p, q are integers and q ≠ 0 are called rational numbers. Rational numbers are denoted by Q.

Ex: – 2, 3, 0.3, and so on

Even numbers: The numbers which are divisible by 2 successfully are called even numbers.

EX: 2, 4, 6, 8, 10, …

Odd numbers:  The numbers which are not divisible by 2 are called Odd numbers.

Ex: 1, 3, 5,7, 9, 11, …

Note:

• Sum of two even numbers is an even number.
• Sum of two odd numbers is an odd number.
• Sum of even and odd number is an odd number.
• Difference of two even numbers is an even number.
• Difference of two odd numbers is an even number.
• Difference of even and odd numbers is an odd number.
• Product of two even numbers is even number.
• Product of two odd numbers is odd number.
• Product of even and odd number is even number.

Prime numbers: The numbers, which have only two factors 1, and itself are called prime numbers.

2, 3, 5, 7, …. Are prime numbers

Composite numbers: The number, which have more than two factors are called composite numbers.

4, 6,8,9…. are composite numbers.

Note: – 1) 1 is neither prime nor composite

2) 2 is the smallest prime number

3) 4 is the smallest composite number.

Co – prime number: The number which has no common factor except 1 is called co – prime number.

Ex: – (2, 3), (4,5) ……

Twin – primes: If the difference of two prime numbers is 2, then those numbers are called twin prime numbers.

Ex: – (2,3), (3,5), (17,19) ….

Special products:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(a + b) (a – b) = a² − b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab (a + b)

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = a³ – b³ – 3ab (a – b)

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

if a + b + c = 0, then a³ + b³ + c³ = 3abc.

---

Divisibility Rules

The process of checking whether a number is divisible by a given number or not without actual division is called divisibility rule for that number.

Divisibility by 2:  A number is divisible by 2 if its once place is either 0, 2, 4, 6 or 8.

Ex:  26 is divisible by 2. 35 not divisible by 2.

Divisibility by 3: If the sum of the digits of a number is divisible by 3, then that number is divisible by 3.

Ex:  231 → 2 + 3 +1 =6, 6 is divisible by 3

∴ 231 is divisible by 3

436 → 4 + 3 + 6 = 13, 13 is not divisible by 3

∴ 436 is not divisible by 3.

Divisibility by 4:  If the last two digits of a number is divisible by 4, then that number is divisible by 4.

Ex:  436, 36 is divisible by 4            ∴ 436 is divisible by 4

623, 23 is not divisible by 4      ∴ 623 is not divisible by 4.

Divisibility by 5:  A number is divisible by 5, if its once place is either 0 or 5.

Ex: 20, 25 are divisible by 5. 22, 46 are not divisible by 5.

Divisibility by 6: A number is divisible by 6, if it is divisible by both 3 and 2.

Ex: 242 is divisible by both 2 and 3     ∴ 242 is divisible by 6

232 is divisible by 3 but not 2        ∴ 232 is not divisible by 6

Divisibility rule by 7: –

Fist multiply the last digit of given number by 2,

subtract this result from the number formed by remaining digits of given number.

If that result is divisible by 7, then the given number is divisible by 7.

Ex: 112

Last digit is 2 ⇒ 2 × 2 = 4

Now 11 – 4 = 7

7 is divisible by 7

∴ 112 is divisible by 7.

Divisibility by 8:  if the last three digits of a number is divisible by 8, then that number is divisible by 8.

Ex: 4232, last three digits 232 are divisible by 8

∴ 4232 is divisible by 8.

Divisibility by 9:  if the sum of the digits of a number is divisible by 9, then that number is divisible by 9.

Ex:  459, 4 + 5 + 9 = 18 → 18 is divisible by 9       ∴ 459 is divisible by 9

532, 5 + 3 + 2 = 10 → 10 is not divisible by 9       ∴ 532 is not divisible by 9.

Divisibility by 10: – a number is divisible by 10, if its once place is 0.

Ex: 20 is divisible by 10. 22, 45 are not divisible by 10.

Factorial of a number: For positive integer ‘n’, the continued product of first natural numbers is called factorial n and is denoted by n!

Ex: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

7! = 7 × 6 × 5× 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

Absolute value or Modulus of a number:   Absolute value of a number always gives a positive number.

 = x if x ≥ 0

 = −x if x < 0

Ex:

Greatest integral value: The greatest integral value of a number ‘n’ is denoted by [n]

n <[n]< n + 1

Ex: [3.2] = 3; [5.6] = 5; [– 5. 4] = – 6

---

HCF and LCM

Factors: a number which divides the other number exactly is called factor of that number.

6 = 1×6

= 2×3      ⟹ factors of 6 are: 1, 2, 3 and 6

Common factors:  Common factors are those numbers, which are factors of all the given numbers.

Ex: 12, 9

Factors of 12 are:  1, 2, 3, 4, 6 and 12

Factors of 9 are:  1, 3 and 9

∴ Common factors of 12, 9 are 1,3

Perfect number: If the sum of the factors of a number (except the number itself) is equal to that number, then it is called Perfect number.

Ex: 6

The factors of 6 are: 1, 2, 3, 6

1 + 2 + 3 = 6

Therefore 6 is a perfect number.

Highest Common Factor (H.C.F):- The highest common factor of two or more numbers is the highest of their common factors. It is also called ad Greatest Common Divisor (G.C.D).

Ex: H.C.F of 12, 9

Factors of 12 = 1, 2, 3,4, 6, 12

  Factors of 9 = 1, 3, 9

Common factors of 12, 9 = 1,3

Highest common factor is 3

∴ H.C.F of 12, 9 is 3

Method of finding HCF:

Prime factorisation method: The HCF of 9, 12 can be found by prime factorisation method as follows.

Ex: – HCF of 9, 12

The common factor of 12, 9 is 3

∴ H.C.F of 12, 9 is 3

Continue division method: Euclid invented this method. Divide larger number by smaller and then divide the previous divisor by the remainder until the remainder zero. The last divisor is the HCF of given numbers.

∴ HCF of 9, 12 is 3

Common multiple: multiples of 3 are 3, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39,42…

Multiples of 4 are: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52….

Common multiples of 3 and 4 are: 12, 24, 36….

Least common multiple (LCM): The least common multiple of two or more given numbers is the lowest of their common multiple.

Ex: LCM of 3 and 4

Multiples of 3 =    3, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39,42…

Multiples of 4 =   4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52….

Common multiples of 3 and 4 = 12, 24, 36….

∴ LCM of 3, 4 is 12.

Methods of finding LCM:

Prime factorisation method: –

The LCM of 6, 15 by using prime factorisation method is as follows:

Prime factors of 6 =   2 × 3

Prime factors of 15 = 5× 3

1.Express each number as product of prime factors

2.Take the common factors both: 3

3.Take the extra factors of both 6 and 15 i.e., 2 and 5

4.The product of all common factors of two numbers and extra common factors of both finds LCM.

           ∴ LCM of 6 and 15 = (3) × 2 × 5 = 30.

Division method: – To find LCM of 6 and 15:

Arrange the given numbers in a row.

Then divide the least prime number, which divides at least two of the given numbers, and carry forward the numbers, which are not divisible by that number if any.

Repeat the process till no numbers have a common factor other than 1.

LCM is the product of the divisors and the remaining numbers.

Ex: –    Find the LCM of 6, 15

                            ∴ LCM of 6, 15 = 3 × 2 × 5 = 30.

Note:  the product of LCM and HCF of given numbers = the product of given numbers.

            Ex: – 6 × 15 = 30 × 3 = 90.

∎ HCF of co – prime numbers is 1 and LCM is their product

∎ HCF of fractions =

∎ LCM of fractions =

---

Fractions

Fraction: Fraction is a part of whole. The whole may be a single object or group of objects.

In  , 3 is the numerator and 4 is the denominator.

Proper fraction: if the numerator of a fraction is less than the denominator, then the fraction is called proper fraction.

Ex:   etc.

Improper fraction: if the numerator of a fraction is greater than the denominator, then the fraction is called improper fraction.

Ex: etc.

Mixed fraction: An improper fraction can be written as a combination of a whole and part. Such fraction is called mixed fraction.

Ex:

Decimal fractions: If the denominators of fractions are the powers of 10, then those fractions are called decimal fractions. We can write decimal fraction with a decimal point (.). it makes easier to do addition, subtraction and multiplication on fractions.

Ex:  etc.

Parts in a decimal fraction:

In a decimal fraction, a dot(.) or a decimal point separate the whole part of the number from the fractional part.

The part right side of decimal point is called the decimal part of the number as it represents a part of 1. The part left to the decimal point is called the integral part of the number.

In 2.35, 2 is integral part and 35 is decimal part

It is read as two point three five

Addition and Subtracting of Decimal Fractions:

while adding or subtracting decimal numbers, the digits in the same places must be added or subtracted.

While writing the numbers one below the other, the decimal points must become one below other. Decimal places made equal by placing zeroes on the right side of the decimal numbers.

Ex: Add 2.63, 4.1, 7.625

Subtract 3.12 from 5.327

Comparison of decimal numbers:

while comparing decimal numbers, first we compare the integral parts. If the integral parts are same, then compare the decimal part.

Ex: – which is bigger: 13.5 or 14.5

Ans: 14.5

Which is bigger: 13.53 or 13. 25

Ans: 13.53

Multiplication of decimal fractions:

For example, we multiply 0.1 × 0.1

Multiplication of decimal fractions by 10, 100, and 1000: –

Here, we notice that the decimal point in the product shift to the right side by as many zeroes as in 10, 100 and 1000.

Division of decimal fractions:

Division of decimal number by 10,100 and 1000:

Here, we notice that the decimal point in the product shift to the left side by as many zeroes as in 10, 100 and 1000.

BODMAS Rule

B ⟶ Bracket

O ⟶ Off (Product)

D ⟶ Division

A ⟶ Addition

S ⟶ Subtraction

Ex:  Solve:  7 – 12 ÷ 3 of 12

Sol: 7 – 12 ÷ 3 of 12 = 72 – 12 ÷ 3 of 2    ( 3 of 2 = 3× 2 = 6)

= 72 – 12 ÷ 6

= 72 – 2

= 70

---

Squares and Square roots, Cubes and Cube roots

Square:  Square number is the number raised to the power 2. Number obtained by the number multiplied by itself.

Ex: – 1) square of 5 = 5² = 5 × 5 = 25, 2) square of 3 = 3² = 3× 3 = 9

Perfect Square:  A natural number is called a perfect square, if it is the square of some natural number.

Ex: 1,4,9, …etc.

Square Root: the square root of a number x is that number when multiplied by itself gives x as the product. Square root of x is denoted by

Ex:

Square root of a number in decimal form

Make the no. of decimal places even, by affixing a zero, if necessary. Now periods and find out the square root by the long division method.

Put the decimal point in the square root of as soon as the integral part is exhausted.

Ex: – To find square root of 79.21

Square root of a decimal number which is not perfect square:

if the square root is required correct up to two places of decimal, we shall find it up 3 places of decimal and then round it off up to two decimal places.

if the square root is required correct up to three places of decimal, we shall find it up 4 places of decimal and then round it off up to three decimal places.

Ex: – To find square root of 0.8 up to 2 decimal places

Pythagorean triplet:

Three natural numbers a, b and c are said to form a Pythagorean triplet if, c² = a² + b²

For every natural number a > 1, (2a, a² – 1, a² + 1).

Ex: – if we put a = 3 in (2a, a² – 1, a² + 1), then we get Pythagorean triplet (6, 8, 10).

Cube of a number:

The cube of a number is that number raised to the power 3.

Ex: – cube of 0.3 = 0.3³ = 0.027

Cube of 2 = 2³ = 8

Perfect cube:

If a number is perfect cube, then it can be written as the cube of some natural numbers.

Ex: – 1, 8, 27 and so on.

Cube root:

The cube root of a number x is that number which when multiplied by itself three times gives x as the product.

Cube root of x is denoted by

Ex:  and so on.

---

Surds    

If ‘a’ is a positive rational number which can be expressed as the n^th power of some rational number, then the irrational number  is called a Surd

 n is called order of surd, a is called ‘radicand’

  is called radical sign

Mixed surd:  A surd which has rational factor other than 1, the other factor being irrational is called mixed surd.

Ex:

Pure surd: A surd which unity has its rational factor, other factor being rational factor is called Pure surd.

Ex:  etc.

Rationalising Factor (R.F):  If the product of two surds is a rational number, then each of the two surds is a rationalising factor of the other. It is not unique.

Laws of Radicals (Surds):

Logarithms

For any two positive integers a and x if a^N = x then

Laws of logarithms:

---

  Ratio

The comparison of two quantities of same kind by using division is called ‘Ratio’

Ratio of two quantities ‘a’ and ‘b’ is denoted by a : b , read as a is to b

In a ratio a : b , a is called first term or antecedent and b is called second term or consequent.

Compound Ratio:  The compound ratio of a : b and c : d is denoted by a : b : : c : d

a : b : : c : d = a × c : b × d

the compound ratio of ( a : b), (c : d) and( x : y) is acx : bdy

Duplicate ratio of a : b is a² : b²

Sub Duplicate ratio of a : b is

Triplicate ratio of a : b is a³ : b³

Sub Triplicate ratio of a : b is

---

 Alligation or Mixture

Alligation: Alligation is a rule, to find the ratio in which two or more quantities at the given price must be mixed to produce a mixture of a desired price.

Mixture: Mixture means mixing two or more quantities. It can be expressed in the form of percentage or ratio.

Mean price: The cost price of a unity quantity of the mixture is called the mean price.

Alligation Rule: If two quantities are mixed, then

Suppose a container contains ‘x’ units of liquid from which ‘y’ units are taken out and replaced by water. After n operations the quantity of pure liquid = units.

---

Proportion

If two ratios are equal, then they are in proportion.

If a : b = c : d , then a, b, c and d are in proportion

a and d are extremes

b and c are means

product of means = product of extremes

Componendo and Dividendo: If, then

Unitary method:  The method in which we first find the value of one unit and then the value of the   required no. of units is known as unitary method.

Direct proportion: In two quantities, when one quantity increase(decreases) the other quantity also increases(decreases) then two quantities are in direct proportion.

Inverse proportion: In two quantities, when one quantity increase(decreases) the other quantity also decreases (increases) then two quantities are in direct proportion.

---

Percentage

Percent means per 100, ‘x’ percent means ‘x’ hundredth.

x% =

Ex: 30% =

Converting a fraction into percentage:

Ex: Convert  into percentage

Sol:  = %  =  20 %

∎ If the price of commodity decreased by R%, then the increase in consumption so as not to

decrease the expenditure is  

∎ If the price of commodity increased by R%, then the increase in consumption so as not to

increase the expenditure is  

Results on machines: If the present value of a machine is P and it deprecates at the rate of R% per year, then

• Value of the Machine After ‘n’ years =
• Value of the Machine ‘n’ years ago =

Results on Population: If the present Population is P and it increases at the rate of R% per year, then

• Population after ‘n’ years =
• Population ‘n’ years ago =

∎ If A is R% more than B, then B is less than A by

∎ If A is R% less than B, then B is more than A by

---

Profit and loss

Cost price (C.P.): – Cost price is the price for which an article is bought or the price paid by a customer to by an article.

Selling price (S.P.): – Selling price is the price for which an article is sold.

Profit: – If Selling price is greater than the cost price, then we get the profit.

                  Profit = S.P – C.P.

Loss: – If Selling price is less than the Cost price then, we get loss. 

                 Loss = C.P – S.P.

Some formulae in profit and loss:

For Profit:

For Loss:

 

∎ When a person sells two similar items, one at gain of x%, and another one at loss of x%, then loss percentage

∎If selling price is equal to cost price but uses false weight then

Gain% =  %

∎ if the selling price of an item is at a profit of x% but uses false weight which is y% less than the original weight then

Gain % = %

∎ if the selling price of an item is at a loss of x% but uses false weight which is y% less than the original weight then

Loss or Gain % = %

---

Simple interest

Principal: – The money which is borrowed is called ‘principal’(P).

Rate of interest: – percentage of interest per year is called rate of interest(R).

Time: – The period for which money is called time(T).

Interest: – The money which is paid for the use of the principal is called interest (S.I).

Amount: – The total money which is paid after the expiry of the time is called amount.

Amount = Principal + S.I

---

Compound Interest

Compound interest allows us to earn interest on interest.

Amount = ( interest compounded annually)

P = principal, R = rate of interest and n = no. of terms or time period.

Amount = ( interest compounded half yearly)

∎When the rates are different for different years, like X%, Y% and Z% for first, second and third year respectively, then

Amount =

∎ present worth of ₹ p due n years hence is given then present worth =

∎The time period after which interest is added to principal is called conversion period. When interest is compounded h yearly, there are two conversion periods in a year. In such case, half year rate will be half of the annual rate.

---

Partnership

A business which is under taken by two or more persons jointly is called ‘Partnership. Those persons are called as Partners.

Types of Partnership:

Partnership is of two types (i) General or Simple partnership  (ii) Compound partnership

(i) Simple partnership or General partnership:

In this type, the period of the investment is the same. Partners divide either profit and loss in the ratio of their investments.

If X and Y invests ₹x and ₹y respectively in a business for one year, then the end of the year

X’s share of profit : Share of s profit  = x : y

(ii) Compound Partnership:

In this type, the investment and period of time are different. Their investments have to be reduced to invests per month or year. The profit or loss will be divided in the ratio of these converted investments.

If X invests ₹x per p months and Y invests ₹y per q months, then

X’s share of profit : Share of s profit  = x : y

---

Time and work

∎ If A can do a piece of work in ‘x’ days, then A’s one day’s work =

∎ If A’s one day work =  , then A can finish the work in ‘x’ days.

∎ If the work done by A is twice as the work done by B, then

The ratio of work done by A and B is 2 : 1

The ratio of time taken by A and B to finish the work is  1 : 2

∎ If the work done by A is thrice as the work done by B, then

The ratio of work done by A and B is 3 : 1

The ratio of time taken by A and B to finish the work is  1 : 3

---

Time and Distance

If the distance travelled = d, Speed = s and Time taken to travel = t, then

Distance = Speed × Time

⇒ d = s × t

Speed = ; Time =

∎ Relation between the speed in kilometre per hour and speed in meter per seconds is

18 km/hr = 5 m/sec

x km/ hr =  m/sec

x m/sec = km/sec

Relative Speed:

∎ In the same direction relative speed = Difference of the Speeds

∎ In the opposite direction relative speed = sum of the Speeds

∎ If the two-object moving in the same direction with speeds x km/hr and y km/hr respectively, then their relative speed = (x – y) km/hr.

∎ If the two-object moving in the opposite direction with speeds x km/hr and y km/hr respectively, then their relative speed = (x + y) km/hr.

∎ Time taken to meet the object =

---

Pipes and Cisterns

Inlet: A pipe connected with a tank or cistern, that fills it is called Inlet.

Outlet:  A pipe connected with a tank or cistern, that emptying is called out let.

∎If a pipe can fill a tank in x hrs. then in one hour it can fil l part of the tank.

∎If a pipe can empty a tank in y hrs. then in one hour it can empty part of the tank.

∎ If one pipe can fill a tank in x hrs. and another pipe can empty the full tank in y hrs. then on opening both the pipes, then the tank can fill in 1           hour =

∎ If one pipe can fill a tank in x hrs. and another pipe can empty the full tank in y hrs. then on opening both the pipes, then the tank can empty in      1 hour =

---

Boats and Streams

Downstream:  In water the direction along the water flow (stream) is called Down stream

Upstream:  In water the direction against the stream is called Upstream.

∎If the speed of object moving in a water is x km/hr and speed of the water flow (stream) is y km/hr then

For upstream relative speed = (x – y) km/hr.

For downstream relative speed = (x + y) km/hr.

Speed in still water = ½ (x + y) km/hr

    Rate of stream = ½ (x – y) km/hr

---

For Train Problems

∎ Time taken by a train of length x meters to cross (pass) a pole (or a standing man) is equal to the time taken by the train to cover x meters.

∎ Time taken by a train of length x meters to cross a stationary object (like a bridge) of length y meters is the time taken by train to cover (x + y) meters.

∎ If the two trains moving in the same direction with speeds x km/hr and y km/hr respectively, then their relative speed = (x – y) km/hr.

∎ If the two trains moving in the opposite direction with speeds x km/hr and y km/hr respectively, then their relative speed = (x + y) km/hr.

∎ If two trains of length a meters and b meters are moving in a opposite directions at x km/hr and y km/hr then time taken by the trains to cross        each other =   hrs.

∎ If two trains of length a meters and b meters are moving in a same direction at x km/hr and y km/hr then time taken by the trains to cross each        other =   hrs.

---

Triangle

A closed figure with three-line segments is called a triangle.

A triangle has 3 sides, 3 angles and 3 vertices.

Types of triangle:

According to the sides:

Scalene triangle: – If no two sides of the triangle are equal then it is called scalene triangle.

Isosceles triangle- If any two sides of a triangle are equal, then it is called isosceles triangle.

Equilateral triangle: – If all sides of a triangle are equal, then it is called equilateral triangle

According to the angles:

Acute angled triangle: – If all angles of a triangle are acute, then it is called acute angled triangle.

Right angled triangle:– If one of the angles of a triangle is right angle(90⁰), then it is called right angled triangle.

Obtuse angled triangle: If one of the angles of a triangle is obtuse, then it is called obtuse angled triangle.

Relationship between the sides of a triangle:

∎In a triangle, the sum of the lengths of two sides is greater than the third side.

∎ In a triangle, the difference of the lengths of two sides is less than the third side.

Altitude: In a triangle, a perpendicular line drawn form vertex to its opposite side is called Altitude.

∎We can draw three altitudes in a triangle.

∎ In an Isosceles triangle, the altitude from the vertex bisects the base.

Median: In a triangle, a line drawn from vertex to midpoint of its opposite side is called median.

∎We can draw three medians in a triangle.

∎ The median of a triangle divides it in to two triangles of the equal area.

Circumcentre:

The point of concurrency of medians in a triangle is called circum centre.

∎ Circumcentre divides median in the ratio 2 : 1.

Angle sum property of triangles:

Sum of the angles in a triangle is 180⁰

An Exterior angle: The angle formed in the exterior of a triangle when one of the sides is produced is called an exterior of the triangle.

∎ An exterior angle of a triangle is equal to sum of its interior opposite angles.

Vertical angle bisector theorem: The bisector of the vertical angle of a triangle divides the base in the ratio of the other two sides.

Similar triangles:

Two triangles are said to be similar if (i) their corresponding angles are equal (ii) their corresponding side are in proportion.

∎ The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the ratio of the squares of their corresponding sides.

∎ The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the ratio of the squares of their corresponding Altitudes.

Pythagorean theorem:

In a right-angled triangle the square of the hypotenuse is equal to sum of the squares of the other two sides.

In ∆ABC, ∠B = 90⁰, then AC² = AB² + BC²

FORMULAE:

∎ Area of the triangle with base ‘b’ and height ‘h’ = b × h sq. Units

∎ Area of the triangle whose lengths of the sides a, b and c =  sq. Units

Where s =

∎ If a and b are the lengths of any two sides of a triangle and 𝛉 is the angle between them, then area of the triangle =   ab sin 𝛉 sq. Units

∎ Area of an equilateral triangle with side a =    a² sq. Units

∎Radius of circumcircle of a triangle =

∎ Radius of circumcircle of an equilateral triangle of side a =

∎ Radius of incircle of a triangle of area ∆ and semi perimeter s =

∎ Radius of incircle of an equilateral triangle of side a =

 Quadrilaterals

Quadrilateral: A simple closed figure with four-line segments is called a quadrilateral.

Diagonal: The line joining opposite vertices of a quadrilateral is called diagonal.

Trapezium: In a quadrilateral one pair of opposite sides are parallel, then it is called Trapezium.

∎ The line joining the mid points of non-parallel sides of a trapezium is parallel to each of the parallel sides and equal to half of their sum.

Parallelogram: In a quadrilateral two pair of opposite sides are parallel, then it is called Parallelogram.

∎ The diagonals of a parallelogram are bisect each other and not equal.

∎ Diagonal of a parallelogram divides it into two triangles of the equal area.

∎ In a parallelogram opposite sides are equal and opposite angles are equal.

Rectangle: In a parallelogram one of the angles is 90⁰, then it is called rectangle.

∎ In a rectangle diagonal are bisect each other and equal.

Rhombus: In a parallel gram adjacent sides are equal, then it is called Rhombus.

∎ In a Rhombus diagonal are bisect each other perpendicularly and unequal.

A parallelogram and rectangle on the same base and lie between the same parallel lines are equal in area.

FORMULAE:

∎ Area of the Trapezium = (sum of the parallel sides) × (distance between them)

∎ Area of the parallelogram = base × height

∎ Perimeter of rectangle = 2 (length + breadth)

Area if the rectangle = length × breadth

∎ Area of rhombus = × product of lengths of diagonals

∎ Perimeter of Square = 4 × side

Area of square = (side)²

∎Area of four walls of a room = 2 (length + breadth) × height

Circles:

Circle: Set of points which are at a constant distance from a fixed point is called a circle.

             Fixed point is called centre of the circle and constant distance is called radius of the circle.

∎ Circumference of the circle = 2πr, where r is the radius of the circle.

Area of the circle = πr²

∎Length of an Arc = l = rθ, where θ is the angle subtended by arc at the centre.

∎Area of sector =  πr²

∎Area of a regular polygon of side a = 1.72 a²

---

Mensuration

Cuboid:

Lateral surface area (L.S.A) = 2h (l + b) square units.

Total surface area (T.S.A) = 2 (lb + bh + hl) square units.

Volume = lbh cubic units.

Diagonal =

Cube:

Lateral surface area (L.S.A) = 4 a² square units.

Total surface area (T.S.A) = 6 a² square units.

Volume = a³ cubic units.

Diagonal =

Cylinder:

Curved surface area (C.S.A) = 2πr h square units.

Total surface area (T.S.A) = 2πr (r +h) square units.

Volume = πr² h cubic units.

Cone:

Slant height =

Curved surface area (C.S.A) = πrl square units.

Total surface area (T.S.A) = πr (r +l) square units.

Volume = πr² h cubic units.

Volume =  (R² + r² + Rr) πh cubic units.

Frustum of a cone:

When a cone is cut by a plane parallel to the base of the cone then the portion between the plane and the base is called the frustum of the cone.

Slant height =  units

L.S.A = πl (r + R) square units.

T.S.A = πl [r² + R² + l (R + r)] square units.

Sphere:

Total surface area (T.S.A) = 4πr² square units.

Volume = πr³ cubic units.

Hemisphere:

Curved surface area (C.S.A) = 2πr² square units.

Total surface area (T.S.A) = 3πr² square units.

Volume =  πr³ cubic units.

Pyramid:

Surface area = Area of the base + Area of the each of the lateral faces

Volume =  × area of the base × height cubic units.

Average:

Average =  

∎ Average of n natural numbers = ½ (n + 1).

∎ suppose A person covers a certain distance at x km/hr and an equal distance at y km/hr, then the average speed during the whole journey is  km/hr

Probability:

Random Experiment: If in an experiment all the possible outcomes are known in advance and none of the outcomes can be predicted with certainty, then such an experiment is called a random experiment.

Ex: Throwing a die, Tossing A coin.

Events: The possible outcomes of a trail are called events.

To measure the chance of it happening numerically we classify them as follows:

Certain: Something that must happen

Equally likely: something that have the same chance of occurring.

Less likely: Something that would occur with less chance.

More likely: Something that would occur with more chance.

Impossible: Something that cannot be happen.

Probability of an event =

Complimentary event: – Let E denote the event, ‘not E’ is called complimentary event of E. It is denoted by  . P ( ) = 1 – P(E) ⟹ P ( ) +P(E) = 1.

∎0 ≤ P(E) ≤ 1

Deck of cards: – A deck of playing cards consists of 52 cards which are divided into 4 suites of 13 cards each. They are black spade, black clubs , red heart and red diamond. The cards in each suit are: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,10, Ace, Jack, Queen and King. Jack, Queen and King are called face (picture) cards.

---

Calendar

Ordinary year: A year having 365 days is called ordinary year.  In ordinary years we have 52 complete weeks and 1 extra day.

7 months ⟶ 31 days.

4 months ⟶ 3 days.

1 month (February) ⟶ 28 days.

Leap year: A year having 36 days is called leap year.  In leap years we have 52 complete weeks and 2 extra days.

7 months ⟶ 31 days.

4 months ⟶ 3 days.

1 month (February) ⟶ 29 days.

∎ A leap year is divisible by 4.

∎ A century to be leap year if it must be divided by 400.

∎ In a century 76 ordinary years and 24 leap years.

Odd day: Extra days apart from the complete weeks in a given period is called odd day.

∎ An ordinary year has 1 odd day.

∎ A leap year has two odd days.

∎ A century has 5 odd days. (76 × 1 + 24 × 2 = 124 odd days = 17 weeks = 5 odd days).

∎In 200 years ⟶ 3 odd days.

In 300 years ⟶ 1 odd day.

In 400 years ⟶ 0 odd day.

In 800 years ⟶ 0 odd day.

In 1200 years ⟶ 0 odd day.

Century − Code:

Month − odd day − Code:

Day – Code:

Formula:

---

Clocks

A clock has two hand (i) Shorter hand or hour hand (ii) Longer hand or Minute hand

∎For every hour, both the hands are coincide once.

Hour hand:

Angle made by Hour hand in 12 hours = 360⁰

In one hour, hour hand can make the angle = 30⁰.

In one minute, hour hand can make the angle =

Minute hand:

Angle made by Minute hand in 60 minutes = 360⁰

In one minute, Minute hand can make the angle = 6⁰

Relative speed:

Relative speed of Minute hand and Hour hand = =

∎ When two hands are rotated in clockwise direction

1. They may be opposite to each other.
2. They may be coincide to each other.
3. They may be perpendicular to each other.

Two hands – Coincide:

Angle between two hands = 0⁰

In the span of 1 hour, they coincide only 1 time.

12 hours, they coincide 11 times.

1 day, they coincide 22 times.

Two hands – opposite direction:

Angle between two hands =180⁰

In the span of 1 hour, they coincide only 1 time.

12 hours, they coincide 11 times.

1 day, they coincide 22 times.

Two hands – perpendicular:

Angle between two hands = 90⁰

In the span of 1 hour, they coincide 2 times.

12 hours, they coincide 22 times.

1 day, they coincide 44 times.

∎ When two hands are opposite to each other, then that two hands are 30 minutes spaces apart.

∎ When two hands are perpendicular to each other, then that two hands are 15 minutes spaces apart.

Formula:

M = (H × 30⁰± θ)

Where M = Minutes

H = Hours (starting hour)

θ = angle between two hands

If starting hour is at 12’O clock, then take H = 0

---