10 వ తరగతి గణితం నోట్స్

10 వ తరగతి గణిత శాస్త్రాన్ని అధ్యయనం చేయడం అంటే, పిల్లలు తమ స్వంత అభ్యాసానికి బాధ్యత వహిస్తారు మరియు సమస్యలను పరిష్కరించడానికి భావనలను వర్తింపజేయడం నేర్చుకుంటారు.

ఈ విషయం . ఈ గమనికలు విద్యార్థులకు గణితంను ఇస్టపడేలా మరియు భయాన్ని అధిగమించడానికి సహాయపడతాయి.

1. వాస్తవ సంఖ్యలు

మనం ముందు తరగతులలో వివిధ రకాలైన సంఖ్యలను గురించి తెలుసుకున్నాము .అంటే సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు, పూర్ణ సంఖ్యలు, కరణీయ , అకరణీయ సంఖ్యలను గురించి నేర్చుకున్నాము .

అకరణీయ సంఖ్యలు : p,q లు పూర్ణ సంఖ్య లై , q ≠ 0 అయిన సందర్భం లో $gif$ రూపం లో రాయగల సంఖ్య లను అకరణీయ సంఖ్యలు అంటారు . దీనిని Q తో సూచిస్తారు .

ఉదా :- $gif$ మొదలగునవి.

కరణీయ సంఖ్యలు : $gif$ రూపం లో రాయలేని సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటారు . దీనిని Q^I లేదా S తో సూచిస్తారు .

ఉదా :- $gif$ మొదలగునవి.

వాస్తవ సంఖ్యలు : అకరణీయ , కరణీయ సంఖ్యల సమూహాన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు .

కింది పటములో మనం వీటిని చూడ వచ్చు.

వాస్తవ సంఖ్యలు

భాగహార శేష నిధి :

a, b అనే ధన పూర్ణాంకాలు ఇచ్చినప్పుడు a = b q + r, 0≤ r <b అయ్యే విధంగా ఏకైక జత పూర్ణాంకాలు q ,r లు వ్యవస్తితం అవుతాయి.

ఇది అందరికి తెలిసినప్పటికీ యూక్లిడ్ పుస్తకాల సంకలనం లోని 7 వ పుస్తకం లో మొట్టమొదటగా నమోదు చేయడం జరిగింది.

ఈ భాగహార శేషనిధి మీద యూక్లిడ్ భాగహార శేష నిధి ఆధారపడి ఉంది.

యూక్లిడ్ భాగహార శేషనిధి కేవలం ధన పూర్ణ సంఖ్యల పైనే నిర్వచించ బడినా , దానిని అన్ని శూన్యేతర పూర్ణ సంఖ్యలకు అనువర్తింప చేయవచ్చు .

యూక్లిడ్ భాగహార శేషనిధి ఉపయోగించి గ . సా . భా ను కనుక్కోవడం :

రెండు ధన పూర్ణ సంఖ్యల సామాన్య కారాణాంకాలలోని అతి పెద్ద కారణాo న్కాన్ని గ .సా. భా అంటారు .

ఉదా:- 9 , 24 ల గ . సా .భా కనుక్కోవడం

దీనిని 24 = 9×2 + 18 గా రాయవచ్చు

division

9 , 24 కన్నా పెద్దది కావున 24 ను 9 చే భాగిస్తే శేషం 6 వస్తుంది

పై దానిలో ని భాజకం 9 మరియు 6 పై యూక్లిడ్ న్యాయాన్ని అనువర్తింప చేయగా

9 = 6 ×1 + 3 గా రాయవచ్చు

పై దానిలో ని భాజకం 6 మరియు శేషం 3 పై యూక్లిడ్ న్యాయాన్ని అనువర్తింప చేయగా దానిని

6 = 3 ×2 + 0 గా రాయవచ్చు

పై దాని లో శేషం సున్నా వచ్చింది

కావున 9 , 24 ల గ . సా .భా 3 అవుతుంది.

ప్రాథమిక అంకగణిత సిద్ధాంతం :

ప్రతి సంయుక్త సఖ్యను ప్రదానానంకముల లబ్దంగా రాయవచ్చు మరియు ప్రధాన కారణాంకాల క్రమం ఏదైనప్పటికీ ఈ కారణాంకాల లబ్దం ఏకైకం .

ఒక సంయుక్త సంఖ్య x ను x = p ₁ p₂ ….p_nఅని రాయవచ్చు . దీనిలో p ₁, p₂, …., p_n ఆరోహణ క్రమం లో రాయబడిన ప్రధానాంకాలు , అంటే p ₁≤ p₂≤….≤ p_n.

ఈ సందర్భం లో ఒకే రకమైన ప్రదానంకములు వాడినచో వాటిని ప్రధానాంకాల ఘా తాoకాలుగా రాస్తాము . ఒకసారి మనం ఈ సంఖ్యలు ఆరోహణ క్రమంలో ఉన్నాయని భావిస్తే . అప్పుడు లబ్దం ఏకైకం .

ఉదా :- 360 = 3×3×2× 2 × 2 × 5 = 3² × 2³ × 5

ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ద పద్ధతి ద్వారా గా. సా . భా మరియు కా . సా . గు కనుక్కోవడం;

9 , 24 ల గ . సా .భా మరియు కా. సా . గు. కనుక్కోవడం

9 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు = 3 × 3 = 3²

24 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు = 2 × 2 ×2 × 3 = 2³×3¹

9 , 24 ల గ . సా .భా = 3¹ = 3 ( సంక్యల యొక్క సామాన్య కారణాంకంల కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం )

9 , 24 ల కా. సా . గు.= 3²× 2³= 9×8 = 72 (సంఖ్యల యొక్క కారణాంకంల గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం)

అకరణీయ సంఖ్యలు మరియు వాటి దశాంశ రూపాలు :

x అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్య మరియు దీని ధశాంశ రూపం ఒక అంతమయ్యే దశాంశము ,అయినప్పుడు x ను p, q లు పరస్పర ప్రధా నాంకములు అయివున్న p /q రూపం లో వ్యక్త పరచవచ్చు . మరియు q యొక్క ప్రధాన కారాణాంకాల లబ్దం 2^m5 ⁿ అగును , n ,m లు ఋణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు .

పై దాని విపర్యయం ఇలా ఉంటెుంది

• n ,m లు ఋణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q యొక్క ప్రధాన కారాణాంకాల లబ్దం 2^m5 ⁿ కలిగినటువంటి అకరణీయ సంఖ్య x = p /q అయిన, xయొక్క ధశాంశ రూపం ఒక అంతమయ్యే దశాంశము అగును ,

terminating decimal

• n ,m లు ఋణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q యొక్క ప్రధాన కారాణాంకాల లబ్దం 2^m5 ⁿ రూపంలో లేకుంటే , అకరణీయ సంఖ్య x = p /q అయిన, xయొక్క ధశాంశ రూపం ఒక అంతంకాని దశాంశము అగును.

ఉదా :-

$\LARGE \frac{1}{3} = 0.333... = 0.\bar{3}$ non terminatini recurring decimal

కరణీయ సంఖ్యలు :-

• p, q లు కరణీయ సంఖ్యలు మరయు q ≠ 0 అయిన p /q రూపం లో రాయలేని సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటారు .

• ప్రతీ కరణీయ సంఖ్య ధశాంశ రూపం ఒక అంతంకాని దశాంశము అగును.

ప్రవచనం: p అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య మరియు a ఒక ధనపూర్ణ సంఖ్య అయితే “ a² ను p నిశ్శేషంగా భాగిస్తే a ను p నిశ్శేషంగాభాగిస్తుంది.

ఘాతాలు :

• a ⁿ ను ఘాతాంక రూపం అంటాము. a ను భూమి అని , n ను ఘాతము అని అంటారు.

(i) $\dpi{100} \large a^{m }\, \times a^{n} = a^{m + n}$ $gif$ (ii) $gif$ $\dpi{100} \large \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ (iii) $gif$ ( a^m)ⁿ = a^mn (iv) a⁰ = 1 $gif$