10 వ తరగతి గణిత శాస్త్రాన్ని అధ్యయనం చేయడం అంటే, పిల్లలు తమ స్వంత అభ్యాసానికి బాధ్యత వహిస్తారు మరియు సమస్యలను పరిష్కరించడానికి భావనలను వర్తింపజేయడం నేర్చుకుంటారు.
ఈ విషయం . ఈ గమనికలు విద్యార్థులకు గణితంను ఇస్టపడేలా మరియు భయాన్ని అధిగమించడానికి సహాయపడతాయి.
మనం ముందు తరగతులలో వివిధ రకాలైన సంఖ్యలను గురించి తెలుసుకున్నాము .అంటే సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు, పూర్ణ సంఖ్యలు, కరణీయ , అకరణీయ సంఖ్యలను గురించి నేర్చుకున్నాము .
అకరణీయ సంఖ్యలు : p,q లు పూర్ణ సంఖ్య లై , q ≠ 0 అయిన సందర్భం లో రూపం లో రాయగల సంఖ్య లను అకరణీయ సంఖ్యలు అంటారు . దీనిని Q తో సూచిస్తారు .
ఉదా :- మొదలగునవి.
కరణీయ సంఖ్యలు : రూపం లో రాయలేని సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటారు . దీనిని QI లేదా S తో సూచిస్తారు .
ఉదా :- మొదలగునవి.
వాస్తవ సంఖ్యలు : అకరణీయ , కరణీయ సంఖ్యల సమూహాన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు .
కింది పటములో మనం వీటిని చూడ వచ్చు.
a, b అనే ధన పూర్ణాంకాలు ఇచ్చినప్పుడు a = b q + r, 0≤ r <b అయ్యే విధంగా ఏకైక జత పూర్ణాంకాలు q ,r లు వ్యవస్తితం అవుతాయి.
ఇది అందరికి తెలిసినప్పటికీ యూక్లిడ్ పుస్తకాల సంకలనం లోని 7 వ పుస్తకం లో మొట్టమొదటగా నమోదు చేయడం జరిగింది.
ఈ భాగహార శేషనిధి మీద యూక్లిడ్ భాగహార శేష నిధి ఆధారపడి ఉంది.
యూక్లిడ్ భాగహార శేషనిధి కేవలం ధన పూర్ణ సంఖ్యల పైనే నిర్వచించ బడినా , దానిని అన్ని శూన్యేతర పూర్ణ సంఖ్యలకు అనువర్తింప చేయవచ్చు .
రెండు ధన పూర్ణ సంఖ్యల సామాన్య కారాణాంకాలలోని అతి పెద్ద కారణాo న్కాన్ని గ .సా. భా అంటారు .
ఉదా:- 9 , 24 ల గ . సా .భా కనుక్కోవడం
దీనిని 24 = 9×2 + 18 గా రాయవచ్చు
9 , 24 కన్నా పెద్దది కావున 24 ను 9 చే భాగిస్తే శేషం 6 వస్తుంది
పై దానిలో ని భాజకం 9 మరియు 6 పై యూక్లిడ్ న్యాయాన్ని అనువర్తింప చేయగా
9 = 6 ×1 + 3 గా రాయవచ్చు
పై దానిలో ని భాజకం 6 మరియు శేషం 3 పై యూక్లిడ్ న్యాయాన్ని అనువర్తింప చేయగా దానిని
6 = 3 ×2 + 0 గా రాయవచ్చు
పై దాని లో శేషం సున్నా వచ్చింది
కావున 9 , 24 ల గ . సా .భా 3 అవుతుంది.
ప్రతి సంయుక్త సఖ్యను ప్రదానానంకముల లబ్దంగా రాయవచ్చు మరియు ప్రధాన కారణాంకాల క్రమం ఏదైనప్పటికీ ఈ కారణాంకాల లబ్దం ఏకైకం .
ఒక సంయుక్త సంఖ్య x ను x = p 1 p 2 ….p n అని రాయవచ్చు . దీనిలో p 1 , p 2, …., p n ఆరోహణ క్రమం లో రాయబడిన ప్రధానాంకాలు , అంటే p 1≤ p 2 ≤….≤ p n.
ఈ సందర్భం లో ఒకే రకమైన ప్రదానంకములు వాడినచో వాటిని ప్రధానాంకాల ఘా తాoకాలుగా రాస్తాము . ఒకసారి మనం ఈ సంఖ్యలు ఆరోహణ క్రమంలో ఉన్నాయని భావిస్తే . అప్పుడు లబ్దం ఏకైకం .
ఉదా :- 360 = 3×3×2× 2 × 2 × 5 = 32 × 23 × 5
9 , 24 ల గ . సా .భా మరియు కా. సా . గు. కనుక్కోవడం
9 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు = 3 × 3 = 32
24 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాలు = 2 × 2 ×2 × 3 = 23 ×31
9 , 24 ల గ . సా .భా = 31 = 3 ( సంక్యల యొక్క సామాన్య కారణాంకంల కనిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం )
9 , 24 ల కా. సా . గు.= 32× 23 = 9×8 = 72 (సంఖ్యల యొక్క కారణాంకంల గరిష్ఠ ఘాతాల లబ్ధం)
x అనేది ఒక అకరణీయ సంఖ్య మరియు దీని ధశాంశ రూపం ఒక అంతమయ్యే దశాంశము ,అయినప్పుడు x ను p, q లు పరస్పర ప్రధా నాంకములు అయివున్న p /q రూపం లో వ్యక్త పరచవచ్చు . మరియు q యొక్క ప్రధాన కారాణాంకాల లబ్దం 2m 5 n అగును , n ,m లు ఋణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు .
పై దాని విపర్యయం ఇలా ఉంటెుంది
• n ,m లు ఋణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q యొక్క ప్రధాన కారాణాంకాల లబ్దం 2m 5 n కలిగినటువంటి అకరణీయ సంఖ్య x = p /q అయిన, xయొక్క ధశాంశ రూపం ఒక అంతమయ్యే దశాంశము అగును ,
• n ,m లు ఋణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q యొక్క ప్రధాన కారాణాంకాల లబ్దం 2m 5 n రూపంలో లేకుంటే , అకరణీయ సంఖ్య x = p /q అయిన, xయొక్క ధశాంశ రూపం ఒక అంతంకాని దశాంశము అగును.
ఉదా :-
• p, q లు కరణీయ సంఖ్యలు మరయు q ≠ 0 అయిన p /q రూపం లో రాయలేని సంఖ్యలను కరణీయ సంఖ్యలు అంటారు .
• ప్రతీ కరణీయ సంఖ్య ధశాంశ రూపం ఒక అంతంకాని దశాంశము అగును.
ప్రవచనం: p అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య మరియు a ఒక ధనపూర్ణ సంఖ్య అయితే “ a2 ను p నిశ్శేషంగా భాగిస్తే a ను p నిశ్శేషంగాభాగిస్తుంది.
• a n ను ఘాతాంక రూపం అంటాము. a ను భూమి అని , n ను ఘాతము అని అంటారు.
(i) (ii)
(iii)
( am)n = amn (iv) a0 = 1
x మరియు aలు ధనపూర్ణసంఖ్యలై a ≠1 అయివుండి ax = n అయిన x = అగును.
Functions Exercise 1a Solutions The famous mathematician " Lejeune Dirichlet" defined a function. Function: A variable is a symbol which represents… Read More
TS Polycet || Solved Previous Question Papers 2020 Math The State Board of Technical Education and Training (SBTET), Telangana, Hyderabad… Read More
TS Polycet || Solved Previous Question Papers 2021 Maths The State Board of Technical Education and Training (SBTET), Telangana, Hyderabad… Read More
Power point presentations About a Presentation? A communication device that relays a topic to an audience in the form… Read More
TS Tet 2022 syllabus For Mathametic Paper 2 is very useful for writing candidates for TS TET. Knowing the syllabus… Read More
TS Intermediate First Year Maths Question Papers 2022 PDF As per reduced syllabus were designed by the 'Basics in… Read More